Solutions admissibles 7


Chaque fois que je tombe sur des théories physiques un peu exotiques comme la Métrique d’Alcubierre, le Big Bounce ou les trous de ver, je repense à une anecdote survenue lors d’un examen de physique au Collège Lycée de l’Abbaye de St-Maurice..

Mathématiquement, il suffit d'attendre un moment ...

Mathématiquement, il suffit d’attendre un moment …

Contrairement à Zinzin, le très divertissant prof de maths, notre prof de physique était, en première approximation, un affreux cynique antipathique assénant des notes impitoyables à des élèves terrifiés. Le problème qu’il nous avait énoncé de sa voix nasillarde* ce jour là était de ce genre:

Un conducteur roule à 72 km/h lorsqu’il aperçoit un gros rocher sur la route devant lui. Après un temps de réaction, il écrase le frein quand sa voiture de 1000 kg n’est plus qu’à 10 m de l’obstacle. La force de freinage est de 10000 Newton. Déterminez si sa voiture heurte le rocher, et si oui après combien de temps et à quelle vitesse.

Fââcile : F=m.a, donc a=F/m, la voiture ralentit pile à a=10 m/s². La vitesse initiale de 72 km/h correspond à v0=20 m/s. La position de la voiture en fonction du temps s’écrit p(t)=v0.t-a.t²/2 qu’on résout pour  p(t)=10 m  , ce qui donne l’équation du second degré: -5t²+20t-10 = 0

Comme le discriminant b²-4ac vaut 400-4.5.10 = 200 est positif, il existe des solutions donc la bagnole tape bien dans le caillou après t=2±√2 secondes, Et pour la vitesse on a v(t)=v0-a.t ce qui donne la vitesse au moment où la voiture heurte l’obstacle : v=±10√2 m/s, soit ±51 km/h environ.

Tous ceux qui ont donné ce résultat ont eu zéro. Et une bordée du prof en prime, dont je me rappelle quasiment chaque mot 35 ans plus tard:

Alors comme ça bande de peigne-cul**, vous croyez aveuglément une équation qui donne des solutions débiles ? Vous croyez que la bagnole va traverser le rocher, s’arrêter après deux secondes et reculer sous l’effet des freins pour se fracasser une deuxième fois en marche arrière ? On est pas au cours de maths ici ! En physique un problème a des solutions admissibles***, mais aussi des solutions inadmissibles. C’est la Nature qui dit si une solution de maths est admissible ou pas. Si vous pigez pas ça, vous êtes nuls : zéro !

Dur. Mais juste. Avec le recul, la leçon était très importante.

L'équation d Einstein (pas E=mc², l’autre, celle de la relativité générale) est un chef d’oeuvre. Albert a généralisé la loi universelle de la gravitation de Newton en décrivant comment l’énergie et la matière déforment l’espace et le temps. Le problème est que l’équation d’Einstein admet de nombreuses solutions qu’on peut classer ainsi:

  1. celles qui correspondent aux observations : le Big Bang, l'expansion de l’Univers, la précession du périhélie de Mercure, les trous noirs, le décalage des horloges atomiques situées à des altitudes différentes ou en mouvement l’une par rapport à l’autre, et encore tout récemment les ondes gravitationnelles.
  2. celles qui ne sont carrément pas compatibles avec notre Univers. La plus fameuse “solution inadmissible” est due à Einstein lui-même : lorsqu'Alexandre Friedman s’est aperçu que l’équation d’Einstein décrivait un univers en expansion (ou en contraction), Albert a ajusté la constante cosmologique de son équation pour forcer l’Univers à être statique. Lorsque Edwin Hubble montra que l’Univers était bel et bien en expansion, Einstein dit qu’il avait fait la  plus grosse gaffe (“blunder” en anglais) de sa vie. D’autres solutions mathématiquement correctes de l’équation d’Einstein sont très surprenantes, comme l'Univers de Gödel dans lequel le voyage temporel est non seulement possible, mais inévitable [1].
  3. Les fameuses théories “exotiques” (Métrique d’Alcubierre, trous de ver etc.) dont on ne sait pas encore si elles sont “admissibles” ou non. Mais ces solutions mathématiques font apparaître des choses étranges comme de l'énergie négative et/ou de la masse négative dont on  pas vu le début du commencement d’une apparence d’existence. Bon, il y a bien l'effet Casimir mais il revient un peu à jouer un peu sur les notions de vide et de zéro absolu.

C’est pourquoi je reste très sceptique face à ces admirables et très respectables solutions mathématiques de physique théorique. Mon indécrottable empirisme exige de voir dans cet univers un petit quelque chose de concret qui supporte l’idée qu’une voiture puisse éviter un rocher en passant par un trou de ver, ou qu’une voiture de masse négative puisse accélérer en marche arrière si on appuie sur le frein…

Notes:

*j’avais écris “nazillarde”… Toujours est-il qu’il nous avait donné un jour un problème consistant à calculer la force avec laquelle le nez d’un alpiniste se fracassait contre le rocher après une chute d’un surplomb avec une corde d’une élasticité donnée. Lorsque le résultat (quelques tonnes-force) avait été trouvé, il avait conclu “Ouais. Je suis solide hein ?” Il nous avait donné son accident de montagne comme exercice…

** son insulte favorite, suffisamment pédante pour être tolérée dans un collège catholique de l’époque…

*** l’expression n’est pas courante en physique, mais très habituelle en optimisation, ou une “solution admissible” n’est pas optimale, mais satisfait les contraintes du problème. En physique, on pourrait appeler “solution admissible” une solution qui satisfait les contraintes de l’observation expérimentale (la voiture ne peut pas traverser le rocher), même si on y approxime ou néglige beaucoup de phénomènes (frottement de l’air, variation de la force de freinage). On peut ensuite “optimiser” la solution en y incorporant ces phénomènes au besoin.

**** Finalement, la gaffe n’est peut-être pas si monumentale que ça vu que l'accélération de l’expansion de l’Univers due à la mystérieuse énergie sombre pourrait correspondre à une valeur précise de la constante cosmologique.

Références

  1. M Buser, E Kajari and W P Schleich “Visualization of the Gödel universe'”, 2013 New J. Phys. 15 013063)  DOI 10.1088/1367-2630/15/1/013063 (video abstract)
  • Henri Soy

    En fait l’erreur monumental d’Einstein n’était pas d’avoir introduit une constante pour rendre l’univers statique, vu que les solutions avec constante cosmologique sont les solutions les plus générales. Pour être plus explicite, le terme source : le tenseur énergie-impulsion a une dérivée covariante nulle.
    Pour écrire son équation, Einstein devait chercher un tenseur d’ordre 2, de dérivée covariante nulle. Le tenseur d’Einstein remplit ce rôle, mais le tenseur métrique également.

    En fait la grosse erreur d’Einstein est que la solution trouvée était… instable, la moindre perturbation provoquait soit une contraction, soit une expansion accélérée…

  • bobo44

    Quand j’étais à lyon, un copain était centralien, et la grosse blague de l’époque las-bas, c’était un binôme d’étudiants qui avaient trouvé une température de pointe de perceuse a un million de kelvin…..

  • Nerd972

    Ici, l’antagonisme math/physique n’est-il pas qu’apparent ? Car dès le départ on ne cherche que les solutions réelles, et qu’on utilise un espace plus grands juste pour résoudre commodément l’équation. Il ne faut donc pas oublier de revenir à la fin, au réel… L’exemple n’est peut-être pas suffisant pour interroger le statut des maths en physique.

  • John Philip Manson

    Bonjour. 😉
    La masse de la voiture (qui roule à 72 km/h) est une donnée manquante mais nécessaire dans l’énoncé de l’exercice. Sans cette donnée, on ne peut pas répondre à l’exercice, même si on connaît la force de freinage (présumée constante, et qui dépend de la masse). Quand tu parlais de solutions admissibles, tu faisais allusion à l’incertitude comme conséquence du fait que la masse reste inconnue ?

    • ah ouais j’ai zappé la masse on la devine quand je donne l’accélération de 10 m/s2 : une tonne. Ok c’est une petite voiture…

    • Argh oui j’ai zappé la masse : 1000 kg. C’est une petite voiture… Merci j’ai corrigé

      • John Philip Manson

        Tout dépend de la position de l’obstacle, on sait qu’il est à 10 mètres de la voiture avant le freinage : rien n’interdit que l’obstacle soit en collision avec la voiture avant l’arrêt total de celle-ci. Sans freinage, les 10 mètres sont parcourus en seulement 0,5 seconde. Et en freinant : 0,59 seconde. La voiture entre en collision avec l’obstacle avant d’avoir fini de s’arrêter. En effet, les reproches du professeur sont justifiés.
        Vérification selon les calculs indiqués par le Code de la route (en France) : les véhicules actuels permettent des décélérations (sur route sèche) de 10 m/s² environ (c’est justement cette valeur dans l’exercice). La distance de freinage (sur route sèche) se calcule de la manière suivante (toujours selon le Code de la route, avec cette formule simplifiée): L = v²/(2g). Ainsi, dans l’exercice le freinage dure sur 20 mètres, mais l’obstacle est à seulement 10 mètres, l’accident est donc inévitable. Autre formule du Code de la route, pour calculer la distance d’arrêt : on prend le chiffre des dizaines de la vitesse en km/h, on a donc 72 km/h, on prend 7 qu’on élève au carré, alors la distance d’arrêt est de 49 mètres, qui est supérieure aux 10 mètres, c’est confirmé : la voiture percute l’obstacle. Le temps biologique de réaction est de 1 seconde, mais on doit freiner en un délai plus court : on a vu l’obstacle trop tard pour pouvoir l’éviter. La subtilité dans l’exercice c’est le temps de réaction du conducteur de la voiture.
        Les maths sont utiles, elles peuvent servir à faire prendre conscience des dangers de la route.