Adieu 3.14.16 : le 28 juin, ce sera Tau Day

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Oui je sais, certains fêtent la journée de pi aujourd’hui, puisque le 14 mars se note 3.14 aux USA. Et comme nous sommes en 2016, c’est même 3.1416 . Et en prime Gilles nous a fait déguster une délicieuse Nusstorte des Grisons bien ronde.

Mais je ne suis pas parvenu à me réjouir pleinement car depuis quelques temps un doute me ronge : et si π était faux ?

C’est ce que suggère un article de 2001, “Pi est faux!” [1] . Son auteur Bob Palais ne prétend évidemment pas que la valeur de pi soit fausse, mais plutôt que sa définition soit boiteuse et propose d’utiliser plutôt la constante 

 =2π . Son idée a toutes les apparences d’un canular, mais elle a pourtant été appuyée par une partie de la communauté de mathématiciens, surtout depuis que le bizarre symbole “newpi” a été remplacé par la lettre grecque τ (tau).

Le “Tau manifesto” [2] de Michael Hartl donne pas mal de bonnes raisons à l’introduction de τ=2π.

• dans la plupart des équations*, π apparaît accompagné d’un facteur 2. C’est le cas dans la loi normale de Gauss et la transformée de Fourier  et beaucoup d’autres [2] , y compris en physique de la troisième loi de Képler aux équations d’Einstein  en passant par la loi de Coulomb
• c’est normal puisque τ correspond à un tour , d’où le choix du τ, lettre d’origine du T comme “tour” ou “turn”
• historiquement [4] , [5] on a calculé et utilisé aussi bien τ que π :
  • Archimède détermina que π était proche de 22/7 à l’aide de polygones réguliers inscrits et circonscrits
  • en 1424 le mathématicien perse Al-Kashi a déterminé 16 décimales de τ par une formule en base 60 [3]
  • en 1697 le mathématicien écossais David Gregory utilisa la lettre π pour définir le périmètre mais définit la constante du cercle comme étant le rapport π/r , où r est le rayon, pas le diamètre…
  • mais en 1706 William Jones utilisa le symbole π comme rapport du périmètre au diamètre, et Euler réutilisa cette notation dans son traité de 1737 qui fit autorité, jusqu’à aujourd’hui
• car enfin, pourquoi considérer le diamètre d’un cercle alors que toutes les équations usuelles du cercle , du cylindre du cône de révolution et de la sphère utilisent le rayon ?

Les mathématiques étant une science vivante, peut-être bien que les tau-istes l’emporteront à la longue sur les pi-istes. En attendant, saluons la tentative de compromis de XKCD proposant la constante pau. Hélas sa valeur (4.71238898038468985769…) n’est pas très propice aux anniversaires à deux décimales. Je préfère donc fêter le Tau Day  le 28 juin avec une deuxième Nusstorte !

Notes:

* exercice : trouvez des contre-exemples de formules dans lesquelles pi n’est pas multiplié par un nombre pair

Références:

1. Bob Palais , “π is wrong! ”, 2001, The Mathematical Intelligencer, Volume 23, Number 3, 2001, pp. 7-8. DOI 10.1007/BF03026846

2. Michael Hartl “Tau manifesto ”, 26 juin 2010

3. Peter Harremoës “Al-Kashi’s constant τ ", 2012

4. "à la recherche de π ” sur le site de Neamar

5. Petr Beckmann (1993). A history of pi. Barnes.