Le cadran des trois neufs

horloge3x9(Mises à jour du 4+5 juin: Bravo à ced, Danakh et Groug dont les commentaires m’ont convaincu que j’aurais du réutiliser mon code… Je me vois contraint de mettre à jour l’article avec leurs découvertes. Et j’en profite pour tester MathJax pour le rendu des formules. C’est nettement plus joli qu’avant, non ?)

Emmanuel m’a envoyé la photo ci-contre en me demandant si on peut graduer ainsi un cadran d’horloge avec d’autres chiffres que le 9.

Ce qu’il y a d’assez fort, c’est que chaque heure du cadran est obtenue avec trois 9, sauf le 1 qui en n’en utilise que deux. Pourtant il existe une solution avec trois 9 ( \(1=9^{9-9}\) ), donc on va considérer considérer que le jeu consiste à obtenir les 12 heures du cadran en utilisant trois fois les mêmes chiffres, et les opérations suivantes:

  • les 4 opérations de base
  • la racine carré et la racine x-ième
  • la factorielle (il y a d’ailleurs une erreur : \(5= \sqrt{9}!-9/9\) et pas \(\sqrt{9!}-9/9\) comme sur la photo)
  • le développement décimal périodique noté \(\overline{.x}\) et valant x/9. Et oui,  \(\overline{.9} = 1\) (voir Développement décimal de l’unité)
  • la concaténation. C’est un peu tiré par les cheveux mais on accepte xx = 11*x

Avec ceci on peut mettre au point quelques recettes pour obtenir certaines “heures” facilement:

  1. \(1 = x^{x-x}\)
  2. \(2 = (x+x)/x\)
  3. \(x-1 = x-x/x\)
  4. \(x = \sqrt[x]{x^x}\), parmi plusieurs autres possibilités
  5. \(x+1 = x+x/x\)
  6. \(11 = xx/x\), où xx désigne la concaténation de deux x
  7. \(3x = x+x+x\)
  8. \(9-x = x/\overline{.x} -x\)
  9. \(x+3 = x+\sqrt{x/\overline{.x}}\)
  10. \(x-3 = x-\sqrt{x/\overline{.x}}\) (trouvé par ced…)
  11. \(9 = \sqrt{x*x}/\overline{.x}\) (bravo ced !)
  12. \(2x = x+\sqrt{x*x}\) (encore ced !)
  13. \(3 =  \sqrt{\sqrt{x*x}/\overline{.x}}\) (bien vu Danakh)

Voici le tableau indiquant les heures que je suis parvenu les commentateurs et moi-même avons pu définir avec trois et uniquement trois utilisations de chaque chiffre. Les lettres entre parenthèses rapportent aux recettes ci-dessus et les formules sont les solutions “hors-recettes” que j’ai trouvées :

x/heure 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a)
2 (b) (b) (b) (b) (b) (b) (b) (b) (b)
3 (g) (e) (d) (c) (m) (h) (m) (m) \(\sqrt{9}+9-9\)
4 (i) (l) (e) (d) (c) \(\sqrt{6*6}*\overline{.6}\) (j) \(8-\sqrt{8+8}\) \(\sqrt{9}+9/9\)
5 \(\sqrt{1/\overline{.1}}! -1\)  (i) \(3!-3/3\) (e) (d) (c) (j) \(\sqrt{9}!-9/9\)
6 \((1+1+1)!\) (g) \(3!+3-3\) \((4-4/4)!\) (e) (d) (c) \(8-\sqrt{\sqrt{8+8}}\) (j)
7  (h) \(3!+3/3\) \((4!+4)/4\) (e) (d) (c) \(9-\sqrt{9}+\overline{.9}\)
8 (h) \(2*2*2\) \((3!/3)^3\) \(4!-4*4\) (i) \((6+6)*\overline{.6}\) (e) (d) (c)
9 (k) (k) (g) (k) (k) (k) (k) (e) (d)
10 \(11-1\) \(4+4+\sqrt{4}\) (l) \(6+6*\overline{.6}\) (i) \(8+\sqrt{\sqrt{8+8}}\) (e)
11 (f) (f) (f) (f) (f) (f) (f) (f) (f)
12 \(11+1\) \((2+2)!/2\) \(3*3+3\) (g) \(5!/(5+5)\) (l) \(8+\sqrt{8+8}\) \(9+9/\sqrt{9}\)

Grâce aux contributions de géniaux et persévérants commentateurs, de nombreuses cellules ont pu être remplies:

En remplaçant un seul chiffre par deux grâce à \(x = \sqrt{x*x}\) comme remarqué par ced, on peut remplir la ligne 9 et plusieurs autres cases en utilisant trois répétitions de x au lieu de deux. Et Danakh a complété la ligne du 3 en ajoutant une racine…

Donc à part le cadran du 9 les seuls autres cadrans possibles avec 3 répétitions sont:

En autorisant quatre répétitions, on peut:

  • remplir les lignes 8 et 10 grâce aux recettes \(8 = x/\overline{.x} – x/x\)  et \(10 = x/\overline{.x} + x/x\), ce qui complète le cadran du 2 et celui du 3
  • et celui du 5 avec 7 = 5+(5+5)/5

Il faut quand même qu’on vous laisse un os à ronger… Combien de répétitions faut-il pour le cadran du 7 ?

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