Serie-Infinie | Dr. Goulu

Peut-on scientifiquement démontrer que les décimales après la virgule du chiffre Pi sont infinies ?

Sat, 23 Nov 2019 00:00:00 +0000

Réponse publiée

Oui. a prouvé que est irrationnel en 1761.

Il a exposé un développement en de la . Il en déduit qu’un développement de tan(m/n), avec m et n entiers non nuls, s’écrit
$$\tan \left({\frac {m}{n}}\right)={\cfrac {m}{n-{\cfrac {m^{2}}{3n-{\cfrac {m^{2}}{5n-{\cfrac {m^{2}}{7n-{\cfrac {m^{2}}{\ddots }}}}}}}}}}$$
Or — vérifiées ici — un développement en fraction continue généralisée représente un irrationnel, donc quand x est un rationnel non nul, tan(x) est irrationnel. Or, tan(π) vaut 0 ; c’est un rationnel. Par , cela prouve que π n’est pas rationnel.

Au cours du XXe siècle, d’autres démonstrations furent trouvées, celles-ci ne demandant pas de connaissances plus avancées que celle du . L’une d’entre elles, due à , est très largement connu

(Wikipedia)

Notes de bas de page

Comment montrer mathématiquement et proprement que la somme des entiers naturels vaut l'infini et pas -1/12 ?

Tue, 08 Oct 2019 00:00:00 +0000

Réponse publiée

Ce qui est extraordinaire, c’est qu’on retrouve ce calcul en physique, notamment dans le calcul de l’ ! Donc ce n’est pas n’importe quoi.

Comme le montre dans son excellent article , ça dépend comment on définit la somme de suites infinies, et notamment :

En fait la somme 1 + 2 + 3 + 4 + … est bien infinie, mais -1/12 est ce qui la sépare de$\int x.dx$ qui est aussi infini, est que l’on peut voir comme une base que l’on soustrait. (…)

Autre manière de le dire, on trouve que 1 + 2 + 3 + 4 + … est infini, mais égal à -1/12, modulo $\int x.dx$

Edit après découverte lors de : Ramanujan n’avait pas écrit

$1+2+3+\cdots = -\frac1{12}\$

mais

$1+2+3+\cdots = -\frac1{12}\ (\Re)$ où $(\Re)$ désigne la qui correspond exactement à ce qui précède !

Notes de bas de page