Comment dérivez-vous la formule du nième nombre de Fibonacci ?

Tue, 11 Jun 2019 00:00:00 +0000

Article initialement publié sur

La méthode la plus rapide et qui ne fait pas intervenir les nombres réels (et leur perte de précision numérique en informatique) est d’utiliser l’idée d’un certain Brenner en 1951: écrire la récurrence de Fibonacci sous forme matricielle.

La matrice toute simple $Q=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}$ permet d’obtenir un nouveau terme de la série de Fibonacci en la multipliant par un vecteur formé des deux termes précédents:

$$\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\mathcal F_{n-1}\\\mathcal F_{n-2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\mathcal F_{n}\\\mathcal F_{n-1}\end{pmatrix}$$

En enchaînant les multiplications matricielles, on obtient le n-ième terme à partir des deux premiers (0,1) ainsi :

$$\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}^{n-1}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\mathcal F_{n}\\\mathcal F_{n-1}\end{pmatrix}$$

En fait on retrouve les termes de la suite directement dans la matrice

$$Q^n = \begin{pmatrix}\mathcal F_{n+1}&\mathcal F_{n}\\\mathcal F_{n}&\mathcal F_{n-1}\end{pmatrix}$$

L’algorithme de l’ permet d’élever la matrice Q à la puissance n en effectuant $log_2(n)$ multiplications de matrices 2×2, ce qui est hyper rapide.

En utilisant cette combine, mon permet de calculer le 10^19 ème terme de Fibonacci en un pouillème de seconde (ok, modulo quelque chose…)

Relations-De-Recurrence | Dr. Goulu

Comment dérivez-vous la formule du nième nombre de Fibonacci ?