Nombres-De-Fibonacci | Dr. Goulu

Comment dérivez-vous la formule du nième nombre de Fibonacci ?

Tue, 11 Jun 2019 00:00:00 +0000

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La méthode la plus rapide et qui ne fait pas intervenir les nombres réels (et leur perte de précision numérique en informatique) est d’utiliser l’idée d’un certain Brenner en 1951: écrire la récurrence de Fibonacci sous forme matricielle.

La matrice toute simple $Q=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}$ permet d’obtenir un nouveau terme de la série de Fibonacci en la multipliant par un vecteur formé des deux termes précédents:

$$\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\mathcal F_{n-1}\\\mathcal F_{n-2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\mathcal F_{n}\\\mathcal F_{n-1}\end{pmatrix}$$

En enchaînant les multiplications matricielles, on obtient le n-ième terme à partir des deux premiers (0,1) ainsi :

$$\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}^{n-1}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\mathcal F_{n}\\\mathcal F_{n-1}\end{pmatrix}$$

En fait on retrouve les termes de la suite directement dans la matrice

$$Q^n = \begin{pmatrix}\mathcal F_{n+1}&\mathcal F_{n}\\\mathcal F_{n}&\mathcal F_{n-1}\end{pmatrix}$$

L’algorithme de l’ permet d’élever la matrice Q à la puissance n en effectuant $log_2(n)$ multiplications de matrices 2×2, ce qui est hyper rapide.

En utilisant cette combine, mon permet de calculer le 10^19 ème terme de Fibonacci en un pouillème de seconde (ok, modulo quelque chose…)

Qu'est-ce que le nombre d'or ?

Sun, 09 Jun 2019 00:00:00 +0000

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C’est un nombre qu’on ne retrouve dans aucune loi physique, pas du tout dans la nature, et pas même dans l’homme de Vitruve de Vinci (qui contient les proportions de Vitruve…). Il correspond à la suite de Fibonacci, mais elle non plus n’est pas dans la nature.

L’angle d’or lui a une réalité, mais ce n’est qu’une conséquence d’une optimisation physique.

Bref le est principalement un mythe métaphysique.

Quel est l'index du nombre de Fibonacci qui se termine par 314159265?

Thu, 30 May 2019 00:00:00 +0000

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le premier est le 2769265 ème, qui a 578742 chiffres, commençant pas 642823662 et finissant par 314159265. Ce petit programme Python vous l’écrira en entier en 2 secondes environ:

n=314159265
m=10**int(len(str(n)))
from Goulib.math2 import fibonacci
i,a,b=2,1,1
while a!=n:
 a,b=(a+b)%m,a
 i+=1
print(i,n)
a=str(fibonacci(i))
print(len(a),a)

comme vous le voyez il calcule la suite de Fibonacci modulo m=10^9 (car il y a 9 chiffres dans 314159265), puisqu’on ne s’intéresse qu’aux derniers chiffres. Ca permet d’être rapide.

Ensuite il utilise ma fonction de calcul du ième terme par exponentiation rapide, décrite dans l’article ci-dessous pour l’afficher en entier.

Où dans la nature peut-on trouver une séquence de Fibonacci ?

Sat, 23 Mar 2019 00:00:00 +0000

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On en trouve deux termes consecutifs en : des graines de tournesol aux pommes de pin, beaucoup de structures botaniques croissent en faisant de jolies spirales apparentes, les “parastiches”. Certaines tournent dans un sens et s’entrecroisent avec d’autres orientées en sens inverse, et le nombre de parastiches dans chaque sens correspond toujours à deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci.

Mais les plantes ne comptent pas : ces structures sont le résultat d’une optimisation qui se produit aussi avec des processus physiques :

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