Calcul-De-Pi | Dr. Goulu

Comment avons-nous découvert toutes les décimales de pi ?

Fri, 06 Dec 2019 00:00:00 +0000

Réponse publiée

Il y a des programmes informatiques qui les calculent de façon très efficace.

mon préféré est un algorithme incroyable qui travaille uniquement en nombres entiers !

Cette version Python se trouve dans ma :

def pi_digits_gen():
''' generates pi digits as a sequence of INTEGERS ! using Jeremy Gibbons spigot generator
:see :http://www.cs.ox.ac.uk/people/jeremy.gibbons/publications/spigot.pdf '''
# code from http://davidbau.com/archives/2010/03/14/python_pipy_spigot.html
 q, r, t, j = 1, 180, 60, 2
 while True:
 u, y = 3*(3*j+1)*(3*j+2), (q*(27*j-12)+5*r)//(5*t)
 yield y
 q, r, t, j = 10*q*j*(2*j-1), 10*u*(q*(5*j-2)+r-y*t), t*u, j+1

A vrai dire, il ne calcule “que” 15'000 décimales correctes (incroyablement vite) mais il en existe d’autres qui vont beaucoup, beaucoup plus loin

Il existe même des méthodes pour obtenir la n-ième décimale sans calculer les précédentes !

Voir

Notes de bas de page

A partir de combien de décimales après la virgule du nombre Pi s'est-on rendu compte que ça ne servait à rien de continuer le calcul ?

Thu, 05 Dec 2019 00:00:00 +0000

Réponse publiée

J’avais posé la question et obtenu une réponse intéressante mentionnant le dans lequel 9 décimales de pi interviennent.

D’autres réponses disent qu’avec 40 décimales on peut calculer la circonférence de l’univers observable avec la précision correspondant à un diamètre de proton.

En ingénierie il est rare d’avoir besoin de plus de 3 décimales, et je n’ai jamais vu qu’on ait besoin de plus de 6.

Peut-on scientifiquement démontrer que les décimales après la virgule du chiffre Pi sont infinies ?

Sat, 23 Nov 2019 00:00:00 +0000

Réponse publiée

Oui. a prouvé que est irrationnel en 1761.

Il a exposé un développement en de la . Il en déduit qu’un développement de tan(m/n), avec m et n entiers non nuls, s’écrit
$$\tan \left({\frac {m}{n}}\right)={\cfrac {m}{n-{\cfrac {m^{2}}{3n-{\cfrac {m^{2}}{5n-{\cfrac {m^{2}}{7n-{\cfrac {m^{2}}{\ddots }}}}}}}}}}$$
Or — vérifiées ici — un développement en fraction continue généralisée représente un irrationnel, donc quand x est un rationnel non nul, tan(x) est irrationnel. Or, tan(π) vaut 0 ; c’est un rationnel. Par , cela prouve que π n’est pas rationnel.

Au cours du XXe siècle, d’autres démonstrations furent trouvées, celles-ci ne demandant pas de connaissances plus avancées que celle du . L’une d’entre elles, due à , est très largement connu

(Wikipedia)

Notes de bas de page

Comment les mathématiciens ont-ils compris que π est irrationnel ?

Fri, 19 Apr 2019 00:00:00 +0000

Article initialement publié sur

L’ était suspectée depuis au moins le 9ème siècle, mais ce n’est qu’en 1761 que la prouve en développant la en (détails )

Pi n’est pas seulement irrationnel, il est aussi En 1873, Hermite prouve que le est transcendant. En 1882, généralise son raisonnement en un théorème (le ) qui stipule que, si x est algébrique et différent de zéro, alors e^xest transcendant. Or e^iπ est algébrique (puisqu’il est égal à –1). Par , iπ est transcendant, donc comme i est algébrique, π est transcendant.

Qu'est-ce qu'un algorithme utile pour générer des décimales de π?

Sun, 14 Apr 2019 00:00:00 +0000

Article initialement publié sur

le plus incroyable est le “spigot”, en 133 caractères de C :

int a[52514],b,c=52514,d,e,f=1e4,g,h;main()
{for(;b=c-=14;h=printf("%04d",e+d/f)) for(e=d%=f;g=--b*2;d/=g)
d=d*b+f*(h?a[b]:f/5),a[b]=d%--g;}

il génère 15000 décimales correctes de pi, et si vous le regardez bien vous verrez qu’il ne travaille qu’avec des nombres entiers !

description et explication ici :

Jeremy Gibbons “ ” (2006), The American Mathematical Monthly 4 (113) p. 318-328 DOI>

Comment calculer la racine carrée de Pi ?

Fri, 12 Apr 2019 00:00:00 +0000

Article initialement publié sur

avec une calculatrice ;-)

Pi étant transcendant, sa racine l’est aussi, il n’y a donc pas de formule “simple” qui donne $\sqrt{\pi}$mais beaucoup de suites (infinies) convergent vers cette valeur et permettent donc d’implanter un algorithme qui calcule cette valeur de plus en plus précisément, comme pour pi.

Certaines de ces suites se trouvent au bas de