Comment montrer mathématiquement et proprement que la somme des entiers naturels vaut l'infini et pas -1/12 ?

Réponse publiée sur Quora

Ce qui est extraordinaire, c’est qu’on retrouve ce calcul en physique, notamment dans le calcul de l’Effet Casimir ! Donc ce n’est pas n’importe quoi.

Comme le montre David Louapre dans son excellent article[1] , ça dépend comment on définit la somme de suites infinies, et notamment :

En fait la somme 1 + 2 + 3 + 4 + … est bien infinie, mais -1/12 est ce qui la sépare de$\int x.dx$ qui est aussi infini, est que l’on peut voir comme une base que l’on soustrait. (…)

Autre manière de le dire, on trouve que 1 + 2 + 3 + 4 + … est infini, mais égal à -1/12, modulo $\int x.dx$

Edit après découverte lors de cette réponse : Ramanujan n’avait pas écrit

$1+2+3+\cdots = -\frac1{12}\$

mais

$1+2+3+\cdots = -\frac1{12}\ (\Re)$ où $(\Re)$ désigne la Sommation de Ramanujan qui correspond exactement à ce qui précède !

Notes de bas de page

[1] 1+2+3+4+5+6+7+… = -1/12 !