Le cadran des trois neufs 22


horloge3x9(Mises à jour du 4+5 juin: Bravo à ced, Danakh et Groug dont les commentaires m’ont convaincu que j’aurais du réutiliser mon code… Je me vois contraint de mettre à jour l’article avec leurs découvertes. Et j’en profite pour tester MathJax pour le rendu des formules. C’est nettement plus joli qu’avant, non ?)

Emmanuel m’a envoyé la photo ci-contre en me demandant si on peut graduer ainsi un cadran d’horloge avec d’autres chiffres que le 9.

Ce qu’il y a d’assez fort, c’est que chaque heure du cadran est obtenue avec trois 9, sauf le 1 qui en n’en utilise que deux. Pourtant il existe une solution avec trois 9 ( \(1=9^{9-9}\) ), donc on va considérer considérer que le jeu consiste à obtenir les 12 heures du cadran en utilisant trois fois les mêmes chiffres, et les opérations suivantes:

  • les 4 opérations de base
  • la racine carré et la racine x-ième
  • la factorielle (il y a d’ailleurs une erreur : \(5= \sqrt{9}!-9/9\) et pas \(\sqrt{9!}-9/9\) comme sur la photo)
  • le développement décimal périodique noté \(\overline{.x}\) et valant x/9. Et oui,  \(\overline{.9} = 1\) (voir Développement décimal de l’unité)
  • la concaténation. C’est un peu tiré par les cheveux mais on accepte xx = 11*x

Avec ceci on peut mettre au point quelques recettes pour obtenir certaines “heures” facilement:

  1. \(1 = x^{x-x}\)
  2. \(2 = (x+x)/x\)
  3. \(x-1 = x-x/x\)
  4. \(x = \sqrt[x]{x^x}\), parmi plusieurs autres possibilités
  5. \(x+1 = x+x/x\)
  6. \(11 = xx/x\), où xx désigne la concaténation de deux x
  7. \(3x = x+x+x\)
  8. \(9-x = x/\overline{.x} -x\)
  9. \(x+3 = x+\sqrt{x/\overline{.x}}\)
  10. \(x-3 = x-\sqrt{x/\overline{.x}}\) (trouvé par ced…)
  11. \(9 = \sqrt{x*x}/\overline{.x}\) (bravo ced !)
  12. \(2x = x+\sqrt{x*x}\) (encore ced !)
  13. \(3 =  \sqrt{\sqrt{x*x}/\overline{.x}}\) (bien vu Danakh)

Voici le tableau indiquant les heures que je suis parvenu les commentateurs et moi-même avons pu définir avec trois et uniquement trois utilisations de chaque chiffre. Les lettres entre parenthèses rapportent aux recettes ci-dessus et les formules sont les solutions “hors-recettes” que j’ai trouvées :

x/heure 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a) (a)
2 (b) (b) (b) (b) (b) (b) (b) (b) (b)
3 (g) (e) (d) (c) (m) (h) (m) (m) \(\sqrt{9}+9-9\)
4 (i) (l) (e) (d) (c) \(\sqrt{6*6}*\overline{.6}\) (j) \(8-\sqrt{8+8}\) \(\sqrt{9}+9/9\)
5 \(\sqrt{1/\overline{.1}}! -1\)  (i) \(3!-3/3\) (e) (d) (c) (j) \(\sqrt{9}!-9/9\)
6 \((1+1+1)!\) (g) \(3!+3-3\) \((4-4/4)!\) (e) (d) (c) \(8-\sqrt{\sqrt{8+8}}\) (j)
7  (h) \(3!+3/3\) \((4!+4)/4\) (e) (d) (c) \(9-\sqrt{9}+\overline{.9}\)
8 (h) \(2*2*2\) \((3!/3)^3\) \(4!-4*4\) (i) \((6+6)*\overline{.6}\) (e) (d) (c)
9 (k) (k) (g) (k) (k) (k) (k) (e) (d)
10 \(11-1\) \(4+4+\sqrt{4}\) (l) \(6+6*\overline{.6}\) (i) \(8+\sqrt{\sqrt{8+8}}\) (e)
11 (f) (f) (f) (f) (f) (f) (f) (f) (f)
12 \(11+1\) \((2+2)!/2\) \(3*3+3\) (g) \(5!/(5+5)\) (l) \(8+\sqrt{8+8}\) \(9+9/\sqrt{9}\)

Grâce aux contributions de géniaux et persévérants commentateurs, de nombreuses cellules ont pu être remplies:

En remplaçant un seul chiffre par deux grâce à \(x = \sqrt{x*x}\) comme remarqué par ced, on peut remplir la ligne 9 et plusieurs autres cases en utilisant trois répétitions de x au lieu de deux. Et Danakh a complété la ligne du 3 en ajoutant une racine…

Donc à part le cadran du 9 les seuls autres cadrans possibles avec 3 répétitions sont:

En autorisant quatre répétitions, on peut:

  • remplir les lignes 8 et 10 grâce aux recettes \(8 = x/\overline{.x} – x/x\)  et \(10 = x/\overline{.x} + x/x\), ce qui complète le cadran du 2 et celui du 3
  • et celui du 5 avec 7 = 5+(5+5)/5

Il faut quand même qu’on vous laisse un os à ronger… Combien de répétitions faut-il pour le cadran du 7 ?

  • Groug

    Bon, on commercialise les cadrans complets ?

    • J’y ai aussi pensé… pas sur que le marché soit énorme…
      Je vois plutôt un “générateur d’horloge” sur le net où tu entres tes chiffres fétiches et ça te génère le cadran pour quelques Euros

  • Groug

    Dans la même veine : on a aussi 5 = x / (.x + .x). Ca aide pour x=1 et 7.

  • Groug

    Si on a droit à .x barre = 0.xxxxxxxx… = x/9, on doit logiquement avoir droit à juste .x = 0.x = x/10. Du coup pour tout x on a
    10 = racine(x*x)/.x
    Ca complète 2 et 3.

    • mouais, j’ai hésité d’autant que le .x est accepté dans le jeu de l’année et le “quatre quatre” niveau 0, mais comme il n’est pas utilisé sur la photo du cadran 9, je ne l’ai pas inclus.

      En admettant (bravo quand même !), on arriverait à terminer le cadran du 7 avec 12 = 7+ 7/(.7+.7), donc tous les cadrans seraient possibles avec max. 4 répétitions, ce qui n’était pas évident de prime abord (pour moi).

      Mais si on admet pas le x/.x = 10 ? combien de 7 faut-il pour faire le 5 et le 12 ?

  • Groug

    Avec des 8 :
    4 = 8 / racine(racine(8+8))

    6 = 8 – racine(racine(8+8))
    10 = 8 + racine(racine(8+8))
    12 = 8 + racine(8+8)
    Et un cadran de plus !

    • Wow ! Bravo Groug ! Je me disais aussi que le 4 étant “si simple”, le 8 ne pouvait pas être si compliqué 🙂

  • Jer anonyme

    $10=2^{2^2}+2$

    • pas de problème, excepté qu’il y a quatre 2 😉

  • Ha tiens la ligne du 3 est facile en faite : racine carré(racine carré(x*x)/.x)

    et on peut facilement rajouter :
    racine carré(1/.1) – 1 = 5
    racine carré(1/.1) + 1 = 7

    • bien vu !

      par contre je ne te suis pas sur racine carré(1/.1) – 1 = 5 et racine carré(1/.1) + 1 = 7 …

      1/.1 = 9 , non ? il manque un 2* quelque part me semble t’il …

    • bien vu !

      par contre je ne te suis pas sur racine carré(1/.1) – 1 = 5 et racine carré(1/.1) + 1 = 7 …

      1/.1 = 9 , non ? il manque un 2* quelque part me semble t’il …

      • J’ai oublié le factoriel pour faire du 3 un 6 🙂

        racine carré(1/.1)! – 1 = 5
        racine carré(1/.1)! + 1 = 7

        • mais c’est bien sur ! J’ai les yeux qui clignotent à force de regarder ce tableau …
          Et ça termine la tableau du 1 ! (1 factorielle…) Incroyable !
          BRAVO à tous

  • encore un petit : ((3!)/3)^3 = 8

  • Tookdrums

    Last ime I check didn’t 2*2*2 = 8 ???

    • So obvious that we missed it 😀

  • Bravo à ced et Danakh dont les commentaires matinaux m’ont convaincu que j’aurais du réutiliser mon code… Je me vois contraint de mettre à jour l’article avec leurs découvertes.

  • Lazard

    Pour obtenir 9 avec 3 fois le chiffre 1 : 9 = 1/.1 *1

  • ced

    En s’inspirant de (i), x-3 = x-Racine(x/.x)

    On en tire le 4 pour x=7 et le 5 pour x=8

    Et pour pour le 9 :
    9=(Racine (x*x))/.x

  • ced

    Bonjour,
    Avec trois répétitions, je propose : 2x = (Racine carré(x*x))+x
    qui remplit le 10 pour x=5, le 12 pour x=6 et le 4 pour x=2

    Et par ailleurs 12 = (2+2)!/2