Palindrome de 196 19


palindrome par puja (flickr)

Prenons un nombre au hasard : 1729. Ecrivons-le à l’envers : 9271 et additionnons les deux nombres : 1729+9271=11000. Recommençons avec ce nombre : 11000+00011 = 11011.

Ce nombre est égal à lui même écrit à l’envers, c’est un nombre palindrome, comme le mot “radar” ou la phrase “élu par cette crapule” si on ne tient pas compte des espaces, ou encore “le grand palindrome“, un texte de 5566 lettres écrit par Georges Perec en 1969.

Tiens, refaisons le calcul avec 1969 pour voir :
1969+9691 = 11660
11660+06611 = 18271
18271+17281 = 35552
35552+25553 = 61105
61105+50116 = 111221
111221+122111 = 23332 : palindrome !

Bizarre n’est-ce pas ? En fait on peut prendre n’importe quel nombre de départ, et la séquence d’opérations arrive inévitablement à un nombre palindrome en un nombre fini d’itérations. C’est du moins ce que l’on conjecture, car il y a deux problèmes :

  1. nos amis mathématiciens n’ont aucune idée de la raison qui fait que ça marche, entre autre parce que “écrire un nombre en base 10 à l’envers” n’a pas de signification mathématique simple.
  2. il y a un gros hic. Si on commence avec 196, on n’arrive pas à un palindrome même après 300 millions d’itérations…

196 est le plus petit des “nombres de Lychrel” (en l’honneur de Cheryl, la petite amie du matheux qui a proposé cette propriété) : les nombres qui n’aboutissent apparemment pas à un palindrome … Dans ces nombres se trouvent évidemment ceux produits à chaque itération à partir de 196, mais aussi quelques autres.

Ce qui est intéressant aussi, c’est la distribution du nombre d’itérations : très souvent, on atteint le palindrome en quelques étapes, même pour de très grands nombres, mais quelques rares nombres demandent quelques étapes de plus

Par exemple pour les nombres de 1 à 99, on arrive à un palindrome en 4 itérations ou moins  pour 98 nombres, 79 et 97 ont besoin de 6 itérations, mais 89 et 98 nécessitent 24 itérations.

Pour les nombres de 1 à 999, 929 atteignent le palindrome en 6 itérations ou moins, 13 sont des nombres de Lychrel et les 57 restant ont besoin de moins de 24 étapes : 89 et 98 sont toujours les plus gourmands en itérations

Poussons jusqu’à 10’000 : à part les 249 (edit du 6.1.14 : et non 246) nombres de Lychrel, il n’y a toujours pas d’autre nombre que 89 et 98 qui nécessite plus de 24 itérations.

La quête du “palindrome le plus retardé” a commencé par ces résultats :

Nombre Iterations Palindrome
10911
147996
150296
1000689
1005744
1017501
7008899
9008299
55
58
64
78
79
80
82
96
4668731596684224866951378664
8834453324841674761484233544388
682049569465550121055564965940286
796589884324966945646549669423488985697
796589884324966945646549669423488985697
14674443960143265333356234106934447641
68586378655656964999946965655687368586
555458774083726674580862268085476627380477854555

le record du monde actuel (2008) date de 2005 et concerne le nombre 1’186’060’307’891’929’990, qui produit un palindrome de 119 chiffres après 162 itérations.

On voit que le nombre maximal d’itérations requises n’augmente que très lentement, ce qui rend les nombres de Lychrel encore plus intriguants et exceptionnels.

A propos : j’ai commencé cet article par mon nombre fétiche 1729 parce que celui de Zinzin, 1548 est peu intéressant : 1548+8451 = 9999. Ou alors, 30 ans plus tard, je viens de découvrir une nouvelle propriété de ce nombre …

Références:

  • roar

    il y a 2 sortes de conjectures, celles qui sont en bas de l’escalier et celles qui sont en haut, et l’escalier n’a qu’une marche.
    il ne faut pas fantasmer sur mes aptitudes, je n’ai pas de formation mathématique, j’utilise le raisonnement.
    si ça vous intéresse, je vous l’écris, s’il y a des erreurs, vous ne manquerez pas de me le dire.

  • roar

    j’ai 59 ans et je suis au chômage, tout travail mérite salaire, ce n’est pas de la cupidité.
    seule la vérité m’intéresse, la gloire je te la laisse volontiers.
    je renouvelle ma question, y a-t-il quelque chose à la clef, autre que la gloire?

  • roar

    trouver la solution rapporterait quelque chose?

  • Gierczak

    Cet article est intéressant mais comporte une petite erreur : il y a 249 nombres de Lychrel potentiels sous 10000, et non 246. Probablement, n’ont pas été pris en compte les 3 nombres inférieurs à 10000 qui, à l’instar de 4994, sont potentiellement nombres de Lychrel, bien qu’étant des palindromes à l’«itération 0». Mais, selon la définition stricte des nombres de Lychrel, ils en font partie.

    Cordialement,
    Lucas GIERCZAK.

    • Vous avez absolument raison, d’autant que c’est la réponse au problème 55 du Project Euler que j’avais trouvée… je ne me rappelle plus d’où vient ce 246, mais j’ai corrigé, merci !

  • L’impossible

    Bonjours, j’aimerais que l’on me dise S.V.P ” combien y a t-il de nombre palindromique a 365 chiffres? ” merci deme repondre au plus tard mardi

    • Le but du défi de Villani dans Le Monde c’est que vous calculiez ça vous même… Mais je vais vous aider un peu : la moitié des chiffre est l’image miroir de l’autre moitié.

  • Pingback: Combien de nombres palindromes < N ? « Dr. Goulu()

  • thierry

    merci beaucoup pour votre réponse rapide.
    J’ai maintenant de quoi m’occuper pour un moment
    A bientôt
    thierry

  • thierry

    bonjour Dr. GOULU
    Je m’amuse beaucoup chez vous. Ne suis pas matheux du tout (mais pas du tout) juste curieux, c’est dejà ça. Je voudrais bien jouer avec vous. Pourriez vous me donner la liste des nombres de lychrel jusqu’à 1000 ou me dire comment l’obtenir grace a un code python svp.
    Merci d’avance
    P.S : super site vraiment merci

    • merci pour les compliments, content que ça vous plaise.

      Les nombres de Lychrel inférieurs à 1000 sont:

      196, 295, 394, 493, 592, 689, 691, 788, 790, 879, 887, 978, 986

      C’est du moins ce que prétend ce code Python (utile pour le problème EulerProject 55)

      def is_lychrel(n):
        n = str(n)
        for count in xrange(0, 50):
          n = str(int(n) + int(n[::-1]))
          if n == n[::-1]: return False
        return True
      
      for n in range(0, 1000):
        if is_lychrel(n): print(n)
  • Voilà j’ai modifié le code Python pour pouvoir faire le test en n’importe quelle base :

    En binaire, il a été prouvé que certains nombres ne convergent pas vers un palindrome. C’est même très fréquent : 329 nombres sur les 1000 premiers et 3750 sur les 10’000 premiers ne convergent pas.

    les bases 3,4,5 ne convergent pas mieux que la base 10, qui a 13 nombres inférieurs à 1000 et 246 inférieurs à 10’000.

    En voyant tout d’abord que les bases 6,7, et 8, puis 11,13,17,25 puis 33,34,45 ne présentent aucun nombre inférieur à 1000 (décimal) qui ne converge pas vers un palindrome, je croyais avoir trouvé des bases “magiques” (qui plus est “premières” selon mon intuition). mais hélas elles ont toutes des nombres entre 1000 et 10’000 qui ne convergent pas, du moins après 1000 itérations.

    En conclusion il semblerait bien que la conjecture sur les nombres palindromiques soit valable dans beaucoup de bases …

    Ci dessous mes résultats en 3 colonnes:
    – première colonne : la base
    – deuxième colonne : nombre de nombres inférieurs à 1000 qui ne convergent pas
    – troisième colonne : nombre de nombres inférieurs à 10’000 qui ne convergent pas

    2 329 3570
    3 71 1674
    4 54 1433
    5 15 727
    6 0 447
    7 0 155
    8 0 336
    9 6 355
    10 13 246
    11 0 109
    12 9 134
    13 0 126
    14 4 64
    15 3 119
    16 12 193
    17 0 105
    18 10 170
    19 13 146
    20 6 106
    21 7 164
    22 8 116
    23 8 178
    24 4 77
    25 0 133
    26 2 179
    27 2 83
    28 2 129
    29 2 107
    30 2 137
    31 2 158
    32 1 126
    33 0 146
    34 0 122
    35 0 154

  • @Hervé : bonne question. D’après http://mathworld.wolfram.com/PalindromicNumberConjecture.html la conjecture a été prouvée comme fausse pour les bases puissances de 2 (en binaire, 10110 ne produit jamais de palindrome)

    Comme je ne trouve pas d’info sur les autres bases, je suppose que ça doit être une conjecture “plausible” dans les autres bases aussi.

    Je devine l’idée de l’ami matheux : si on pouvait démontrer la conjecture dans certaines bases et l’infirmer dans d’autres, on pourrait peut être en déduire quelque chose pour la base 10 …

    Mon instinct me pousserait à étudier les “bases premières” 3,5,7,11 … vais étendre mon petit code Python ASAP …

  • A pardon, je m’etais trompe, je croyais que le second nombre etait le resultat a l’iteration suivante, ce qu iaurait ete une erreur flagrante!

    Autre question, d’un ami matheux (Benjamin Enriquez): de tels nombres existent-ils dans d’autres bases?

  • heu… je l’avais pas vérifié mais ça à l’air juste : voici les 55 sommes :

    22812
    44634
    88278
    175566
    841137
    1572285
    7395036
    13700973
    51601704
    92312319
    183633648
    1029970029
    10230769230
    13527472431
    26954944962
    53899890924
    96809790759
    192519581628
    1018705496919
    10215650575020
    12273156226221
    24535421363442
    48971733816984
    97933567534968
    184877144068947
    934737585847428
    1759486171584867
    9444337888434438
    17788686775768887
    96675444544457658
    182350889088915327
    905870770076968608
    1712740440154047117
    8830144950594519288
    17659299901188929676
    85352288012188225347
    159704576133276450705
    666759248464951858656
    1323617407929794816322
    3559802387226841979553
    7119593873454674069106
    13139198637998458028223
    45421284127972147221354
    90733558255944295433808
    171567017500899580967517
    887336103498905291732688
    1773573296008799593366476
    8520207255986806517120247
    15940424412073702044140505
    66444568432810723486545456
    131899136865512546973089922
    361879516510728115605088053
    712760023022555131221066216
    1325420145154110351541133433
    4668731596684224866951378664
    10911 -> 4668731596684224866951378664 apres 55 iterations

  • Bizarre, je n’ai pas la meme suite avec 10911.

  • c’est toujours fascinant ces propriétés étranges que l’on découvre dans les nombres…merci pour la plongée dans les palindromes numériques…!

    à bientôt !