Sloane | Dr. Goulu

Le fossé de Sloane

Sun, 10 Apr 2011 00:00:00 +0000

Les chemins de la science sont souvent inattendus et tortueux, comme le montre de plus en plus une jolie histoire dans laquelle je suis impliqué.

Rappel des épisodes précédents. Pour Zinzin, mon prof de maths un peu fou, 1548 était le nombre entier le plus quelconque qu’on puisse trouver. En 2008 j’ai eu l’idée d’utiliser l’ de Neil Sloane pour le vérifier et chercher les “ ”, des nombres sans propriétés particulières. J’ai contacté pour lui demander s’il avait connaissance de travaux similaires. Il m’a répondu que non, et m’a suggéré de faire une représentation graphique de l’ “intérêt” de chaque nombre, mesuré par le nombre des suites l’incluant dans l’encyclopédie de Sloane, et j’ai obtenu ceci :

Intrigué par ce résultat, Jean-Paul Delahaye y a consacré sa rubrique dans de Pour la Science de mai 2009 , qui s’achève par un appel à expliquer le “fossé de Sloane”, cette bande blanche qui sépare les nombres en deux classes assez distinctes. Dans mon article “ ” écrit en parallèle, j’ai constaté que les nombres fortement composites, les puissances entières et les nombres premiers représentent une forte majorité des nombres “intéressants” situés au dessus du fossé de Sloane, mais sans pouvoir réellement expliquer le fossé.

Delahaye a poursuivi les recherches sur ce sujet avec Hector Zenil et Nicolas Gauvrit, mathématicien et psychologue à l’Université d’Artois et ils viennent de publier ensemble un article en francais et d’en soumettre une version anglaise expliquant le fossé de Sloane.

Les auteurs commencent par expliquer la forme générale du nuage en utilisant la . Ils montrent d’une part que les nombreuses propriétés “simples”, pouvant être exprimée en peu de mots comme “être pair”, “être un carré” ou “avoir beaucoup de facteurs” se combinent pour produire beaucoup de propriétés pour les petits nombres (comme 36), produisant la décroissance exponentielle bien visible sur le graphique.

D’autre part, les propriétés plus complexes comme “ ” impliquent d’avoir des propriétés plus simples, ce qui explique la dispersion verticale du nuage : les nombres qui ont des propriétés simples en ont probablement de plus complexes.

A l’aide de ces deux résultats, Gauvrit, Delahaye et Zenil parviennent à reproduire un “nuage du nombre de propriétés” simulé sans tenir compte des propriétés effectivement répertoriées dans la base de Sloane. La Figure 5 de leur article ressemble effectivement beaucoup à “mon” nuage, mais sans le fossé…

Le fossé de Sloane ne serait donc pas un effet mathématique, mais plutôt “social” : les mathématiciens s’intéresseraient plus à certaines propriétés qu’à d’autres de même complexité par des effets de mode, ou simplement en poursuivant des recherches antérieures, ce qui provoquerait un glissement de la distribution : Fig. 6 de : La Figure du haut représente la distribution locale de N attendue sans tenir compte du facteur social. La communauté mathématique s’intéresse massivement à certains nombres de complexité moyenne ou faible (dans la zone centrale ou droite de la distribution) et, par cet intérêt, crée un décalage vers la droite d’une partie de la distribution (schématisée par une flèche grise). La nouvelle distribution qui en découle, représentée en bas, présente un fossé.

Comment ? Qu’entend-je ? Il existerait donc une discrimination entre les nombres opérées par les mathématiciens, qui opéreraient une forme de ségrégation parmi les propriétés mathématiques, en favorisant certaines par rapport à d’autres ? Si cela s’avère, il faut corriger cette injustice et lutter pour la défense des nombres acratopèges !

Plus sérieusement, j’en reviens à mes interrogations initiales : les nombres qui n’ont que peu de propriétés sont ils réellement inintéressants ? Les nombres qui ne sont pas encore répertoriés dans la base de Sloane ne pourrait-ils pas donner lieu à de nouvelles découvertes numériques ?

A suivre…

Références

Jean-Paul Delahaye, “ ”, Pour la Science N°379 - mai 2009, p 88-93
" ", blog de Nicolas Gauvrit
Nicolas Gauvrit, Jean-Paul Delahaye et Hector Zenil, « », , 194 | Eté 2011
Nicolas Gauvrit, Jean-Paul Delahaye, Hector Zenil, “ ”, 2011, \[math.PR\]
Nicolas J.-P. Gauvrit, Jean-Paul Delahaye, & Hector Zenil (2013). Sloane’s Gap: Do Mathematical and Social Factors Explain the Distribution of Numbers in the OEIS? Journal of Humanistic Mathematics, 3 (1), 3-16 DOI: (ajouté le 19.10.2013)

La minéralisation des nombres

Sat, 18 Apr 2009 00:00:00 +0000

Dr. Goulu est (un peu) dans ce numéro de "Pour la Science" ! La Gloire ! (enfin…)

Après mon article sur les , j’avais contacté pour lui demander si quelqu’un avait déjà étudié ce sujet. Il m’avait répondu qu’à sa connaissance ce n’était pas le cas, et trouvait étrange de rechercher les nombres ayant peu de propriétés plutôt que ceux en ayant beaucoup. Mais mon idée d’utiliser la de l’ pour mesurer l’intérêt des nombres l’a séduit et les résultats de la petite collaboration qui s’en est suivie figurent dans l’article “Mille collections de nombres” de Jean-Paul Delahaye qui vient paraitre dans “Pour la Science”

\[1\]

A l’aide de quelques lignes de Python, j’ai créé une donnant le nombre de propriétés connues des nombres de 2 à 65536*, que j’appelle “minéralisation” par analogie avec les eaux minérales riches en ions supposés apporter bienfaits et saveur comparativement à une eau “plate”, voire “acratopège”, sans propriété particulière.

En réalisant un simple graphique de la minéralisation, j’ai remarqué un phénomène très intriguant : le graphique présente deux bandes distinctes, nettement visibles à tous les ordres de grandeur :

Autrement dit, les nombres entiers se divisent assez clairement en 2 groupes : les nombres “intéressants” et les nombres “inintéressants”. Il y a étonnament peu de nombres moyennement intéressants. L’article de Delahaye se termine par un appel à expliquer ce phénomène.

J’ai un peu profité de ma longueur d’avance en demandant à Python de colorier sur le nuage de points les nombres appartenant à quelques séries particulières :

les nombres premiers en rouge,
les nombres de la forme an en vert,
les nombres ayant plus de diviseurs que n’importe quel nombre inférieur en jaune :

Bingo ! On voit que ces nombres recouvrent la quasi totalité des nombres particulièrement minéralisés, ou intéressants.

Il me semble que la bande claire entre les nombres fortement minéralisés et les nombres “plats” pourrait résulter du fait que de nombreuses suites de l’encyclopédie de Sloane sont définies par combinaison de critères. Par exemple si on , on ne trouvera pas seulement les nombres premiers, mais aussi:

les nombres de Chen : les nombres premiers p tels que p + 2 est soit premier soit semipremier
les nombres premiers palindromiques : en inversant leur chiffres, ils sont toujours premiers
les nombres n tels que n et 6n+1 sont premiers
et encore 120 autres propriétés combinant la primalité avec d’autres propriétés.

De ce fait, les nombres premiers ont des chances d’être aussi présents dans ces nombreuses autres séries, alors que les nombres composés n’en ont aucune. Le même raisonnement vaut pour les nombres ayant beaucoup de diviseurs ( …) : ils vont naturellement se retrouver dans de nombreuses autres suites en tant que multiples. Pour les puissances parfaites ( , …) il me semble plus étonnant qu’elles “méritent” d’appartenir à de nombreuses propriétés dérivées, mais c’est comme ça.

Ces 3 propriétés me semblent être fondamentales, ou “minéralisantes” car à part 1,2 et 4, aucun nombre entier ne peut avoir deux de ces propriétés, ou les trois, mais les nombres qui possèdent une de ces trois propriétés sont systématiquement plus intéressants que ceux qui n’est possèdent pas. Reste à trouver une ou deux de ces propriétés de plus que partagent les nombres fortement minéralisés encore bleus dans le graphique ci-dessus.

Au vu de ce qui précède, il y a probablement quand même des choses très intéressantes à trouver parmi les nombres peu minéralisés. Existe-t-il des propriétés “déminéralisantes”, telles que les nombres qui en jouissent ne peuvent qu’avoir un nombre limité d’autres propriétés ?

Note* : 65536 est un nombre bien connu des informaticiens : 2^16 donne le nombre de codes binaires possibles sur 16 bits, et le format de fichier (.xls) d’Excel a été défini au bon vieux temps des processeurs 16 bits …

Référence:

Jean-Paul Delahaye, “ ”, Pour la Science N°379 - mai 2009, p 88-93 (

Chasse aux nombres acratopèges

Sun, 24 Aug 2008 00:00:00 +0000

En utilisant l’ pour un article précédent, j’ai découvert qu’elle pouvait m’aider pour une vieille idée : la recherche de nombres acratopèges.

Le mot “ ” signifie “sans propriété particulière” et on ne le trouve plus que sur l’étiquette de quelques bouteilles d’eau faiblement minéralisée.

Les nombres entiers sont soit pairs, soit impairs. Certains sont premiers, d’autres des carrés ou des cubes d’autres nombres. Au fil des siècles, les mathématiciens ont ainsi défini des centaines de propriétés particulières dont jouissent certains nombres et ont rangés les nombres en suites définissant ces propriétés:

2,3,5,7,11,13,17, 19, 23 … : les nombres premiers
1,2,4,8,16,32,64,128 … : les puissances de deux
et des centaines d’autres

Les petits nombres ont énormément de propriétés. En cherchant “1” dans l’encyclopédie, on trouve 141'541 resultats, pour “2” : 117'375, pour “3” : 92'953, et pour “1963”, mon année de naissance : 401 …

Je me suis demandé quels sont les nombres qui apparaissent le moins dans ces suites, et puisqu’ils n’ont aucune propriété particulière, méritent d’être qualifiés d’acratopèges.

1548 : le nombre de Zinzin

Zinzin était un prof de maths célèbre du Collège de St-Maurice. Au début des années 80, ses cours étaient de véritables shows et je repense à lui chaque fois que je “fais Barbe Bleue”* avec une équation et chaque fois que je croise son nombre fétiche : 1548.

Tous les problèmes posées par Zinzin avaient la même solution : 1548 ou une de ses variations comme 1.548, 720 (= 15x48 ) ou encore 31.6348490636206336. Etonné par ce dernier résultat, j’avais dit à Zinzin que je m’étais probablement trompé quelque part et il m’avait suggéré d’en prendre la racine 8-ième : oui c’est bien 1.54^8 …

Zinzin comptait ainsi : “0,1,e,pi,1548, beaucoup”. Selon lui, 0,1,e et pi suffisent à construire les mathématiques avec “Beaucoup” , qui est une notion moins perturbante que l’infini. Et 1548, était un nombre quelconque, sans propriété particulière.

Une génération d’étudiants a cherché pourquoi Zinzin chérissait 1548 plus que tout autre nombre, mais il ne semblait justement pas y avoir de raison. 1548 est-il un nombre acratopège ?

l’Encyclopédie des suites nous apprend que comme :

: Nombres n qui, élevés aux puissances de 1 à 4, sont multiples de la somme de leurs digits :
- 1548 = 86 x (1+5+4+8 )
- 1548^2 = 2396304 = 88752 x (2+3+9+6+3+0+4)
- 1548^3= 3709478592 = 68694048 x (3+7+0+9+4+7+8+5+9+2)
- 1548^4=5742272860416 = 106338386304 x (5+7+4+2+2+7+2+8+6+0+4+1+6)
- (ça ne joue plus avec 1548^5…)
: Plus petit nombre de pierres au qui utilise le (2*n-1)-ème trou
et autres folies de mathématiciens

Mais il est vrai qu’avec 115 résultats, 1548 a peu de propriétés, nettement moins que ses voisins 1547 (151) et que 1549 (304) par exemple. C’est un nombre que je qualifierais de “faiblement minéralisé” plutôt que d’acratopège.

1729 : Le nombre de Hardy-Ramanujan (et Goulu)

Sur les traces de Zinzin, je m’étais mis en tête de trouver mon propre nombre fétiche et ai choisi 1729, en raison d’une histoire légèrement brodée par le fameux Zinzin. Le mathématicien Hardy avait pris le taxi numéro 1729 pour rendre visite à et en chemin il avait trouvé ce nombre acratopège : il lui semblait qu’il n’avait aucune particularité. Mais en arrivant, Ramanujan dit immédiatement “Non ,c’est un nombre fort intéressant ; c’est le plus petit que l’on puisse exprimer comme somme de deux cubes de deux manières différentes.” En effet, 1729 = 123 + 13 = 103 + 93

Depuis, un tel nombre est appelé “ ” et 1729 est le plus petit taxicab-2. Faisant confiance à l’instinct de Hardy, j’espérais donc que ce soit la seule propriété remarquable de 1729, mais hélas, il y a qui est donc un nombre bien moins acratopège que celui de Zinzin.

Seule consolation, il n’y a que dont , celle des nombres dodécagonaux donnés par la formule An=n.(5n-4)

(à part que A2=12, je ne vois pas le rapport avec les dodécagones, si quelqu’un peut m’éclairer…)

La chasse est ouverte !

Quel est le plus petit nombre entier qui n’apparaît dans aucune suite de l’Encyclopédie ? et ceux qui n’y apparaissent qu’une fois ?

On peut répondre à ces questions facilement car le contenu de la base de données est et qu’un petit programme vite fait en Python peut y compter le nombre d’occurrences des nombres dans les suites en quelques secondes minutes et produire une fichier lisible sous Excel…. et voilà !

8795, 9935, 11147, 11446, 11612, 11630, … sont les premiers nombres parfaitement acratopèges : ils ne figurent dans aucune des suites de la base ! On pourrait définir une suite “Acra0” avec ces nombres définis comme n’apparaissant que dans Acra0 …
8267, 9734 sont les premiers nombres de la suite Acra1. Ce sont les seuls nombres inférieurs à 10'000 qui n’ont qu’une seule propriété répertoriée :
- est un nombre tel que la juxtaposition de tous les précédents dans la suite est un nombre premier. Autrement dit le nombre (oubliez les virgules et les espaces, considérez ce qui suit comme un seul nombre entier) : 1, 3, 7, 11, 13, 29, 37, 113, 121, 149, 151, 201, 219, 251, 451, 453, 573, 669, 689, 697, 749, 913, 969, 1157, 1269, 1503, 1531, 1809, 2087, 2163, 2179, 2511, 2537, 2599, 2709, 2789, 2929, 3243, 3989, 4033, 4151, 5019, 5389, 5423, 5599, 6179, 6433, 8267 est premier …
- me plait particulièrement : 11 ème terme de sa suite, c’est le nombre de polyminos différents de 11 carrés dont le périmètre vaut 24, qui est le périmètre maximal de ces polyminos. C’est plus clair si on parle du classique : le 5ème terme de la suite dit qu’il en existe 11 dont le périmètre vaut 12. Effectivement, seul le “P” a un périmètre de 10. Wow !
, , , … ont deux propriétés seulement. Ils définissent la suite Acra2
est le plus petit nombre avec 3 propriétés
Acra5 commence par
Acra10 commence par
est le plus petit nombre avec moins de 100 propriétés (88 )

Voilà, vous connaissez désormais les nombres les moins utiles des mathématiques !