Pi | Dr. Goulu

Adieu 3.14.16 : le 28 juin, ce sera Tau Day

Mon, 14 Mar 2016 00:00:00 +0000

3 pi/2 de Nusstorte je vous prie - Je vous en mets 3/4 de tau, ça vous ira ?

Oui je sais, certains fêtent la aujourd’hui, puisque le 14 mars se note 3.14 aux USA. Et comme nous sommes en 2016, c’est même 3.1416 . Et en prime Gilles nous a fait déguster une délicieuse bien ronde.

Mais je ne suis pas parvenu à me réjouir pleinement car depuis quelques temps un doute me ronge : et si π était faux ?

C’est ce que suggère un article de 2001, “Pi est faux!” . Son auteur Bob Palais ne prétend évidemment pas que la valeur de pi soit fausse, mais plutôt que sa définition soit boiteuse et propose d’utiliser plutôt la constante

=2π . Son idée a toutes les apparences d’un canular, mais elle a pourtant été appuyée par une partie de la communauté de mathématiciens, surtout depuis que le bizarre symbole “newpi” a été remplacé par la lettre grecque τ (tau).

Le “Tau manifesto” de Michael Hartl donne pas mal de bonnes raisons à l’introduction de τ=2π.

dans la plupart des équations*, π apparaît accompagné d’un facteur 2. C’est le cas dans et beaucoup d’autres , y compris en physique de la troisième aux en passant par la
c’est normal puisque , d’où le choix du τ, lettre d’origine du T comme “tour” ou “turn”
historiquement , on a calculé et utilisé aussi bien τ que π :
- détermina que π était proche de 22/7 à l’aide de polygones réguliers inscrits et circonscrits
- en 1424 le mathématicien perse a déterminé 16 décimales de τ par une formule en base 60
- en 1697 le mathématicien écossais utilisa la lettre π pour définir le périmètre mais définit la constante du cercle comme étant le rapport π/r , où r est le rayon, pas le diamètre…
- mais en 1706 utilisa le symbole π comme rapport du périmètre au diamètre, et réutilisa cette notation dans son traité de 1737 qui fit autorité, jusqu’à aujourd’hui
car enfin, pourquoi considérer le diamètre d’un cercle alors que toutes les équations usuelles du , du du et de la utilisent le rayon ?

Les mathématiques étant une science vivante, peut-être bien que les tau-istes l’emporteront à la longue sur les pi-istes. En attendant, saluons la tentative de compromis de XKCD proposant la constante pau. Hélas sa valeur (4.71238898038468985769…) n’est pas très propice aux anniversaires à deux décimales. Je préfère donc fêter le le 28 juin avec une deuxième Nusstorte !

Notes:

* exercice : trouvez des contre-exemples de formules dans lesquelles pi n’est pas multiplié par un nombre pair

Références:

, “ ”, 2001, The Mathematical Intelligencer, Volume 23, Number 3, 2001, pp. 7-8.
Michael Hartl “ ”, 26 juin 2010
Peter Harremoës “ ", 2012
" ” sur le site de Neamar
Petr Beckmann (1993). A history of pi. Barnes.

Combien de décimales de Pi en physique

Sun, 15 May 2011 00:00:00 +0000

A la lecture de “ ”, je me suis interrogé sur le nombre de décimales de réellement π nécessaires en physique. A priori il n’est pas nécessaire de connaitre π avec une précision supérieure à celle d’autres grandeurs mesurées, alors quelles sont les expériences de haute précision faisant intervenir π explicitement ?

N’en ayant aucune idée, j’en ai profité pour tester un site découvert par hasard en y . Je n’ai pas été déçu : en quelques heures j’ai reçu des réponses de très bon niveau, dont celle de que je vous traduis ci-dessous:

Pi est très loin d’être le seul nombre dont nous ayons besoin en physique. Les prédictions théoriques typiques dépendent de nombreux autres nombres mesurés, calculés (ou les deux) que pi.

Cependant, il est vrai qu’on doit substituer la bonne valeur de pi pour obtenir les bonnes prédictions. Donc la bonne réponse à votre question est la prédiction théorique vérifiée avec la plus grande précision que nous ayons dans la physique à ce jour, à savoir le de l’électron.

Dans certaines unités naturelles le moment magnétique anomal de l’électron est exprimé par un facteur g qui est légèrement supérieur à 2. Expérimentalement :

g/2 = 1.00115965218111±0.00000000000074

Theoriquement, g/2 est donné par g/2 = 1 + α/2π + …

où le premier terme α/2π a été obtenu par en 1948, et beaucoup d’autres termes plus petits sont connus aujourd’hui. les prédictions théoriques correspondent aux mesures expérimentales dans la minuscule marge d’erreur; l’incertitude théorique contient l’effet de nouvelles espèces de dont les masses et couplages n’ont pas encore été éclaircies. Ceci nécessite, parmi beaucoup, beaucoup d’autres choses, d’introduire la bonne valeur de π dans la première correction de Schwinger α/2π. Vous avez besoin de 9 à 10 décimales de π pour que cette correction entre dans l’erreur expérimentale.

Donc en pratique, π≈3.141592654 serait OK partout dans la partie testable de la physique. Cependant, les physiciens théoriciens ont évidemment besoin de faire des calculs plus précis s’ils ne peuvent le faire analytiquement, pour voir ce qui se passe avec leurs formules.

Impressionnant, non ? Il faut dire que les sous-sites de utilisent un système sophistiqué de “réputation” donnant peu à peu plus de pouvoirs aux contributeurs constructifs, et écartant les . Certains forums dont je devraient s’en inspirer…

Sinon j’ai aussi reçu un petit commentaire intriguant sous la forme d’une citation (traduite par mes soins):

“Le lecteur pourrait souhaiter suivre le conseil de l’un des auteurs d’ignorer les différents facteurs de V; ils ne jouent pas de rôle crucial. De plus, le lecteur moins ambitieux pourrait aussi souhaiter d’ignorer tous les facteurs de π, l’ainsi nommée approximation du petit cercle.”

Quoi ! Des physiciens osent traiter π d’approximation ? à suivre…

Références:

B. Odom, D. Hanneke, B. D’Urso, G. Gabrielse," ", Physical Review Letter 030801, 2006
Edward W. Kolb , Michael Stanley Turner, “ ", Westview Press, 1994

Nombres Univers

Fri, 04 Jun 2010 00:00:00 +0000

Pi est un (il est même “ ”) : comme il ne peut pas s’écrire sous forme d’une fraction, ses décimales ne “cyclent” jamais commes celles de 22/7 = 3.142857 142857 142857 … par exemple, et il y en a une infinité, donc a priori une infinité de séquences de décimales toutes différentes.

Pas étonnant donc qu’on puisse facilement , mais est-on sur de trouver n’importe quelle séquence (finie) de chiffres dans les décimales de Pi, par exemple un million de chiffres 5 consécutifs, ou l’oeuvre complète de Shakespeare traduite en chiffres ? Pour ça, il faudrait que pi soit un “ ”. Et n’en déplaise à , on n’en sait rien pour l’instant*, et il en va de même pour e, $\sqrt{2}$, ln(2) et tous les nombres irrationnels usuels, et ce non seulement en base 10 mais dans n’importe quelle base .

Par contre il existe une infinité de nombres univers, on sait les fabriquer, et c’est même très facile. Exemple: la . On la forme en concaténant simplement les entiers croissants dans les décimales :

C10=0,123456789101112131415161718192021…

Les nombres ainsi construits sont même plus qu’univers, ce sont des parce que toute séquence de décimales finie se répète indéfiniment avec une probabilité uniforme. Dans C10, la séquence 1234 du début va se trouver plus loin …1233 1234 1235… et encore plus loin …11233 11234 11235… et ainsi de suite jusqu’à l’infini. La séquence 1234 se retrouve statistiquement dans 1/10000 ème des groupes de 4 décimales.

Un nombre univers compact ?

Les nombres normaux font un beau gâchis de décimales, car ils contiennent l’oeuvre complète de Shakespeare une infinité de fois. Peut-on imaginer un nombre univers plus économique ?

Essayons de compacter la en:

ne répétant pas les décimales déjà présentes. Par exemple après 0,1234567891011 , on ne va pas écrire 12 parce que le 1 est déjà présent, mais seulement 2 : 0,12345678910112 …
ne répétant pas les nombres déjà présents dans les décimales précédentes : dans l’exemple ci-dessus, le 12 est déjà présent dans les toutes premières décimales, donc on peut passer directement au 13 :

on obtient ainsi 0,123456789 10113141516171819 20212242526272829 3032335 …

On voit qu’on ne gagne que quelques pourcents de décimales. Mais on peut aller plus loin : les 9 premières décimales de C10 ne servent à rien puisqu’elles sont forcément présentes dans les décimales de 10..à..99, lesquelles ne servent à rien puisqu’elles figurent 10x dans les décimales de 100..à..999 et ainsi de suite.

Les séquences de De Bruijn

Une tresse de De Bruijn

Mais d’abord, est-ce bien malin de fabriquer un nombre univers compact en concaténant des entiers consécutifs ? Peut-on fabriquer une séquence contenant chaque nombre de n décimales et qui soit nettement plus compacte que l’énumération ? m’a gentiment indiqué qu’une (SDB) fait exactement ça, et même très bien puisque chaque nombre de n chiffres en base b n’est présent qu’une seule fois dans la séquence B(b,n). La pointe sur un site étonnant : le “ ” qui comporte entre autres outils un permettant de générer très rapidement par exemple :

B(10,3) = 0 0 0 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 0 7 0 0 8 0 0 9 0 1 1 0 1 2 0 1 3 0 1 4 0 1 5 0 1 6 0 1 7 0 1 8 0 1 9 0 2 1 0 2 2 0 2 3 0 2 4 0 2 5 0 2 6 0 2 7 0 2 8 0 2 9 0 3 1 0 3 2 0 3 3 0 3 4 0 3 5 0 3 6 0 3 7 0 3 8 0 3 9 0 4 1 0 4 2 0 4 3 0 4 4 0 4 5 0 4 6 0 4 7 0 4 8 0 4 9 0 5 1 0 5 2 0 5 3 0 5 4 0 5 5 0 5 6 0 5 7 0 5 8 0 5 9 0 6 1 0 6 2 0 6 3 0 6 4 0 6 5 0 6 6 0 6 7 0 6 8 0 6 9 0 7 1 0 7 2 0 7 3 0 7 4 0 7 5 0 7 6 0 7 7 0 7 8 0 7 9 0 8 1 0 8 2 0 8 3 0 8 4 0 8 5 0 8 6 0 8 7 0 8 8 0 8 9 0 9 1 0 9 2 0 9 3 0 9 4 0 9 5 0 9 6 0 9 7 0 9 8 0 9 9 1 1 1 2 1 1 3 1 1 4 1 1 5 1 1 6 1 1 7 1 1 8 1 1 9 1 2 2 1 2 3 1 2 4 1 2 5 1 2 6 1 2 7 1 2 8 1 2 9 1 3 2 1 3 3 1 3 4 1 3 5 1 3 6 1 3 7 1 3 8 1 3 9 1 4 2 1 4 3 1 4 4 1 4 5 1 4 6 1 4 7 1 4 8 1 4 9 1 5 2 1 5 3 1 5 4 1 5 5 1 5 6 1 5 7 1 5 8 1 5 9 1 6 2 1 6 3 1 6 4 1 6 5 1 6 6 1 6 7 1 6 8 1 6 9 1 7 2 1 7 3 1 7 4 1 7 5 1 7 6 1 7 7 1 7 8 1 7 9 1 8 2 1 8 3 1 8 4 1 8 5 1 8 6 1 8 7 1 8 8 1 8 9 1 9 2 1 9 3 1 9 4 1 9 5 1 9 6 1 9 7 1 9 8 1 9 9 2 2 2 3 2 2 4 2 2 5 2 2 6 2 2 7 2 2 8 2 2 9 2 3 3 2 3 4 2 3 5 2 3 6 2 3 7 2 3 8 2 3 9 2 4 3 2 4 4 2 4 5 2 4 6 2 4 7 2 4 8 2 4 9 2 5 3 2 5 4 2 5 5 2 5 6 2 5 7 2 5 8 2 5 9 2 6 3 2 6 4 2 6 5 2 6 6 2 6 7 2 6 8 2 6 9 2 7 3 2 7 4 2 7 5 2 7 6 2 7 7 2 7 8 2 7 9 2 8 3 2 8 4 2 8 5 2 8 6 2 8 7 2 8 8 2 8 9 2 9 3 2 9 4 2 9 5 2 9 6 2 9 7 2 9 8 2 9 9 3 3 3 4 3 3 5 3 3 6 3 3 7 3 3 8 3 3 9 3 4 4 3 4 5 3 4 6 3 4 7 3 4 8 3 4 9 3 5 4 3 5 5 3 5 6 3 5 7 3 5 8 3 5 9 3 6 4 3 6 5 3 6 6 3 6 7 3 6 8 3 6 9 3 7 4 3 7 5 3 7 6 3 7 7 3 7 8 3 7 9 3 8 4 3 8 5 3 8 6 3 8 7 3 8 8 3 8 9 3 9 4 3 9 5 3 9 6 3 9 7 3 9 8 3 9 9 4 4 4 5 4 4 6 4 4 7 4 4 8 4 4 9 4 5 5 4 5 6 4 5 7 4 5 8 4 5 9 4 6 5 4 6 6 4 6 7 4 6 8 4 6 9 4 7 5 4 7 6 4 7 7 4 7 8 4 7 9 4 8 5 4 8 6 4 8 7 4 8 8 4 8 9 4 9 5 4 9 6 4 9 7 4 9 8 4 9 9 5 5 5 6 5 5 7 5 5 8 5 5 9 5 6 6 5 6 7 5 6 8 5 6 9 5 7 6 5 7 7 5 7 8 5 7 9 5 8 6 5 8 7 5 8 8 5 8 9 5 9 6 5 9 7 5 9 8 5 9 9 6 6 6 7 6 6 8 6 6 9 6 7 7 6 7 8 6 7 9 6 8 7 6 8 8 6 8 9 6 9 7 6 9 8 6 9 9 7 7 7 8 7 7 9 7 8 8 7 8 9 7 9 8 7 9 9 8 8 8 9 8 9 9 9

qui ne comporte que 1000 chiffres au lieu des 3000 qui seraient nécessaires pour une énumération. Si vous êtes observateur, vous remarquerez que 900 n’est pas présent dans la séquence. C’est parce qu’elle est cyclique, il faut l’imaginer “bouclée” et alors les 00 du début de la séquence dont on pouvait penser qu’ils étaient inutiles se placent après le 9 final pour former le 900.

Cette nature cyclique permet donc de commencer la séquence B(b,n) n’importe où en prenant n chiffres, puis de passer au suivant en se décalant d’un chiffre soit vers la gauche soit vers la droite et ainsi de suite. Après avoir effectué ainsi bn décalages, on se retrouve au point de départ en ayant la certitude d’être passé une et une seule fois par chaque nombre compris entre 0 et bn-1. Beau, non ?

Et utile. Par exemple pour ouvrir une porte protégée par un digicode de 3 chiffres sans touche “entrée”, qui s’ouvrirait dès qu’on tape les trois chiffres secrets consécutivement. Si vous avez oublié le code, la SDB B(10,3) donne la séquence qui ouvrira la porte à coup sur en pressant le minimum de touches…

On peut aussi remarquer qu’une SDB comme

B(2,8) = 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1

, qui définit en 256 bits les 256 octets possibles en binaire (compression d’un facteur 8 par rapport à l’énumération!), se rapproche assez du code de Gray(-Gros) connu par 1 des : on passe d’un nombre à l’autre par un décalage à gauche ou à droite et l’entrée d’un seul bit d’information du côté opposé.

Retour au nombre univers compact

Dans la SDB B(10,n), tous les nombres à n chiffres ne sont représentés qu’une seule fois.

La tentation est grande de proposer comme nombre univers le plus compact qui soit un nombre dont les décimales seraient données par B(10,∞), ce qui garantirait que chaque nombre de longueur infinie n’y figure qu’une seule fois…

J’aurais même été tenté d’en écrire les premières décimales :

U=0,3 141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 117 067 982 148 086 513 282 306 647 093 844 609 550 582 231 725 359 408 128 481 117 450 284 102 701 938 521 105 559 644 622 948 954 930 381 964 428 810 975 665 933 446 128 475 648 233 786 783 165 271 201 909 145 648 566 …

Ben oui, comme les SDB sont cycliques, je pourrais m’arroger le droit de commencer la séquence là où commence l’infinité de décimales de Pi, par pur esprit de provocation…

Mais on n’a pas le droit de faire tout ça; manipuler les infinis mathématiques nécessite des précautions dont je suis incapable. Je vais donc me contenter d’un nombre “presque” univers, tout comme l’Univers astronomique est peut-être infini, mais dont seul un volume fini nous est accessible : B(10,1'000'000). Dans ce , il y a une seule fois le nombre formé d’un million de chiffres 5, et l’oeuvre complète de Shakespeare s’y trouve aussi, ainsi que tous les autres livres édités et pas encore écrits, ainsi que toutes les autres informations accumulées par l’humanité puisqu’elles sont en . De plus, comme chaque bloc d’un million de décimales de pi, de e et des autres transcendants y figure aussi, j’ai cette fois rigoureusement le droit de commencer la séquence par le premier million de décimales de pi. J’y tiens ;-)

Note* : en fait c’est fortement suspecté et Bailey et Crandall ont proposé en 2001 une démonstration de la normalité en base 2 de pi, e et d’autres “constantes fondamentales” basée sur une conjecture qu’il reste à prouver.

Références

David H. Bailey and Richard E. Crandall “ ”, Experiment. Math. Volume 10, Issue 2 (2001), 175-190.
" " sur Jeux et Mathématiques (avec un générateur en ligne acceptant les lettres)

Oh! a Pi-Day !

Sat, 14 Mar 2009 00:00:00 +0000

Chez nos amis anglo-saxons, ce 14ème jour du mois de mars se note 3.14 et a donc été bombardé “jour de pi” avec même un ! La fête a débuté à 1h59 et 26 secondes et quelques pouillèmes pour des raisons évidentes.

Vous pouvez encore commémorer ce grand jour en

utilisant
vous replongeant dans l’
vous laissant intriguer par quelques
exécutant : int a[52514],b,c=52514,d,e,f=1e4,g,h;main() {for(;b=c-=14;h=printf(”%04d”,e+d/f)) for(e=d%=f;g=–b*2;d/=g)d=d*b+f*(h?a[b]:f/5),a[b]=d%–g;}
apprenant les décimales par coeur …
visualisant

Pi-Search

Thu, 17 Jan 2008 00:00:00 +0000

Un nouveau moteur de recherche particulièrement inutile mais génialement merveilleux fait fureur sur internet :

Il cherche une séquence de décimales dans les 200'000'000 premières décimales de pi . Par exemple, avec ma date de naissance ça donne :

Ceux qui savent ce qu’est un algorithme (et que ça ne s’écrit pas avec Y …), remarqueront que trouver une séquence dans 200 millions de caractères en 1.5 millisecondes (sur un Pentium 4!) demande un peu de subtilité. Dave Andersen explique .

Voir aussi:

Coïncidences numériques

Thu, 01 Feb 2007 00:00:00 +0000

Celle là est assez stupéfiante (cliquer pour l’article d’eljjdx)

Des peuvent surprendre : y’a-t-il une relation cachée entre e et pi ? est-ce qu’on ne se serait pas légèrement trompé sur une décimale de pi et que le résultat devrait donner 20 ? Mais pourquoi 20 ?

Zinzin, mon prof de maths préféré comptait ainsi : “0, 1 , e , pi , 1548, beaucoup” :

0 et 1 sont largement suffisants pour se débrouiller dans un univers digital,
1548 n’ayant aucune propriété particulière ( ), il signifiait “n’importe quel nombre”
“beaucoup” était synonyme de l’infini.
restent e et pi, 2 constantes aussi universelles qu’insaisissables par leur transcendance, frustrantes parce qu’on ne connait aucune relation entre elles.

C’est pourquoi des coïncidences numériques du type eπ - π = 20 sont attrayantes, mais assez fausses pour entretenir le mystère… D’autres relations entre e et pi sont plus facilement démontrables. Ma préférée est $e^{i\pi} +1 = 0$ , car elle fait en plus intervenir l’unité imaginaire i, dont le carré vaut -1. Spectaculaire non ? Le petit côté dommage est qu’une fois qu’on a compris , elle devient un peu moins magique : il n’y a en fait aucune relation entre e et pi là dedans.

15000 décimales de Pi en 133 octets de C

Mon, 28 Jun 2004 00:00:00 +0000

Voici un minuscule programme en langage C de 133 caractères, c’est vraiment pas gros….

\[c\]

int a

\[52514\]

,b,c=52514,d,e,f=1e4,g,h;main() {for(;b=c-=14;h=printf("%04d",e+d/f)) for(e=d%=f;g=–b*2;d/=g) d=d*b+f*(h?a

\[b\]

:f/5),a

\[b\]

=d%–g;}

\[/c\]

Si vous l’exécutez. vous allez obtenir ce résultat en quelques secondes:

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Oui, ce sont bien les 15’000 premières décimales de Pi !

(ajout du 3.14 (pi-day…) 2012:)

L’algorithme utilisé s’appelle “ ” et il est du à Rabinowitz and Wagon. La référence suivante explique son fonctionnement

\[altmetric doi="10.1007/978-3-319-32377-0\_16" float="right"\]Jeremy Gibbons “ ” (2006), The American Mathematical Monthly 4 (113) p. 318-328 DOI>