Gps | Dr. Goulu

Le GPS pour les nuls : Cartes et Routage

Sat, 27 Sep 2008 00:00:00 +0000

Dans l’ , j’explique comment votre GPS peut déterminer la latitude et la longitude où vous vous trouvez à partir de satellites. C’est génial, mais c’est peu utile si vous n’êtes pas un marin.

Ce qui fait l’intérêt du GPS de nos jours c’est qu’il vous dit que vous êtes sur la Route du Mandement en direction de Satigny, et qu’il faut tourner à droite 300m après le giratoire pour aller en direction de Bourdigny. Comment est-ce possible ?

En plus du récepteur sophistiqué décrit dans , un GPS contient une grosse mémoire pour stocker une carte géographique et un microprocesseur relativement puissant pour calculer votre itinéraire par une méthode qui fait l’objet de cet article.

La carte routière stockée dans votre GPS est bien plus qu’une digitalisation d’une carte routière en papier : elle contient le “ ” formé par le réseau routier, à savoir tous les carrefours (ou points, ou noeuds) reliés par un réseau de chemins (ou arcs, ou arêtes).

Pour aller d’un point à un autre, le microprocesseur de votre GPS va déterminer le trajet le plus court entre deux lieux en parcourant ce graphe. Si vous utilisez un logiciel de cartographie comme , vous vous êtes peut-être dit que Google a assez de gros ordinateurs pour le faire rapidement, et garde peut-être même en mémoire les requêtes les plus fréquentes (Paris - le Grau du Roi…) pour les resservir plus vite. Mais si vous avez un petit GPS dans votre voiture ou dans la main, vous avez certainement remarqué qu’il lui fait plusieurs secondes avant de pouvoir commencer à vous indiquer la direction à prendre. En réalité, c’est plutôt le fait qu’il n’ait pas besoin de minutes, voire d’heures de calcul qui tient de l’exploit, tant il existe de routes possibles.

Tout d’abord, remarquons que la position géographique des noeuds n’est pas indispensable pour résoudre le problème; seules les informations sur la “longueur” des routes importe réellement si on cherche à minimiser le trajet. Ceci permet d’ailleurs de choisir ce que l’on veut minimiser :

la distance parcourue. Dans ce cas seule la longueur de chaque route est utile
le temps nécessaire. Si chaque route est caractérisée par une vitesse moyenne ou un temps de parcours habituel, le chemin optimal favorisera une autoroute de contournement qu’une traversée urbaine
la consommation, le cout financier … En fait, on peut attribuer à chaque route un “cout” selon un critère quelconque, voir même deux couts correspondant aux deux sens de parcours, ce qui permet de tenir compte des sens interdits par exemple.
si une route n’existe pas, on peut même en inventer une de coût élevé pour faire de .

Ensuite, les trajets en voiture satisfont une hypothèse importante appellée “principe d’optimalité de Bellman” qui simplifie beaucoup la résolution du problème : si le trajet optimal de A à C passe par B, alors les trajets AB et BC sont aussi optimaux, et le cout pour aller de A à C est égal à la somme des couts AB+BC.

Cette hypothèse appelée semble évidente, mais elle peut être invalide avec d’autres moyens de transport:

Marc, un ami (ingénieur) qui prit un vol Copenhague-Reykjavik pour visiter l’Islande eut la surprise de s’apercevoir qu’il payait son billet plus cher que les nombreux autres passagers de l’avion qui volaient de Copenhague à New-York. Ce viol du principe d’optimalité rend plus compliqué la recherche du vol le moins cher.
Les transports publics partant à des heures déterminées par un horaire violent également le principe d’optimalité : il vaut parfois mieux choisir des trains avec de bonnes correspondances plutôt qu’un TGV qui nous obligera à perdre 1h dans une gare en attendant le train suivant.

Dans ces cas là, il faut tenter de modifier le problème pour le faire obéir au principe d’optimalité, soit se résigner à de très, très, très longs calculs.

Mais si le “principe d’optimalité de Bellman” est satisfait, et c’est le cas en voiture, alors on peut utiliser des algorithmes très efficaces :

Le célèbre publié en 1959 permet de trouver le chemin joignant deux noeuds d’un graphe en minimisant la somme des “couts” et donc de trouver le “ ”. Son temps de calcul est proportionnel à (m+n).log(n), où n est le nombre de nœuds et m le nombre de routes, ce qui rend possible son application sur des graphes comportant des millions de noeuds et routes.
En prenant en compte la position des villes, on peut utiliser des algorithmes heuristiques comme qui fournissent plus rapidement un chemin très proche de l’optimum dans le cas d’une carte “normale”, mais peuvent être plus lents que Dijkstra dans des cas vicieux.

Une fois le trajet optimal déterminé, il suffit à votre GPS de vérifier que vous le suivez scrupuleusement à partir des mesures satellite, de vous diriger à gauche ou à droite, et si vous vous plantez ou si vous rencontrez un bouchon, de recalculer en vitesse un nouveau trajet optimal.

L’étape suivante sera de remettre à jour les cartes embarquées dans les GPS par des signaux radio, genre Wifi ou téléphone 3G. En cas de bouchon ou de travaux, il suffit de modifier automatiquement le cout du trajet correspondant et hop, les voitures équipées conseilleront un nouveau trajet optimal à leur conducteur. Ca s’appelle le progrès et c’est pour bientôt.

Références:

Moshe Sniedovich , “ ”, Department of Mathematics and Statistics, The University of Melbourne, Parkville, VIC 3052, Australia

Le GPS pour les nuls : Satellites et Signaux

Sat, 27 Sep 2008 00:00:00 +0000

Les GPS sont ces appareils “magiques” apparus il y a 15 ans sur les bateaux, puis sur les avions, les voitures de luxe, les taxis et les camions il y a 5 ou 6 ans, et qui se répandent maintenant dans les voitures et les téléphones voire les appareils photos.

Bref, ça n’épate plus personne de savoir où on est à quelque mètres près dans une ville inconnue et d’être dirigé vers son hôtel de façon fiable par une douce voix féminine qui reste parfaitement calme même si on ne suit pas le chemin tracé. Mais si on sait comment ça marche, le GPS apparait comme l’une des 7 merveilles du monde technologique*

Ce premier article présente la partie “Satellites et Signaux” de cette extraordinaire réalisation .

Le principe est tout simple : 24 satellites tournent autour de la Terre sur des orbites précises, en faisant “bip-bip”. En tout point de la planète, on peut recevoir les signaux de 6 à 10 satellites.

On pourrait se dire que 3 satellites suffisent:

si on sait quels satellites ont émis les bips reçus, on peut savoir où ils se trouvent sur leur orbite
et si on sait combien de temps le “bip” à mis pour aller du satellite à l’endroit où on se trouve à la vitesse de la lumière

alors on sait qu’on se trouve à l’intersection de 3 sphères centrées sur les satellites, et dont les rayons correspondent à la distance parcourue par chaque “bip”, et il n’y a que 2 tels points, dont l’un n’est probablement pas à la surface de la Terre, donc nous nous trouvons à l’autre.

La principale difficulté et de mesurer avec une grande précision le temps mis par les bips pour parcourir la distance entre le satellite et le récepteur.

Certaines pages du web prétendent que les signaux émis par les 3 satellites contiennent l’heure exacte de l’émission. C’est faux et ça serait inutile, car il faudrait aussi une horloge ultra précise au récepteur. Les satellites sont effectivement équipés d’horloges atomiques ultra précises, mais il serait beaucoup trop cher d’en mettre dans chaque récepteur.

Le truc, c’est de tenir compte d’un quatrième satellite et de calculer l’intersection de 4 sphères au lieu de 3, mais dans l’ , en tenant compte du temps : il n’existe qu’un seul endroit à un seul moment extrêmement précis où les décalages entre les bips des 4 satellites donnés peuvent correspondre aux mesures. Le GPS fournit donc non seulement la position géographique, mais aussi l’heure exacte en prime.

Reste encore quelques petits détails techniques à résoudre.

D’abord, les bips-bips doivent être reconnaissables, pour qu’on sache quel satellite l’a émis. On pourrait les émettre sur 24 fréquences différentes, mais ça ferait des récepteurs compliqués. Donc ils sont tous émis sur la même fréquence, mais alors ils doivent être clairement distincts : des bip-bips, des bop-bops, des bap-baps etc.

Ensuite, le satellite émet avec une puissance de 25W qui arrose presque la moitié de la surface de la Terre. Sur Terre, un récepteur reçoit 0.000178 pW .

\[pW\]

c’est “picoWatt”, un millième de milliardième de Watt, la puissance d’un muscle de puceron. Cette puissance reçue est 45 fois inférieure (16 décibels) à la puissance du bruit thermique dans la gamme de fréquence du GPS. Pour éviter d’avoir à détecter des “bip-bips” minuscules noyés dans un CHCHCHCHCHCHCHCH continu, il y avait une solution : mettre sur chaque GPS une douzaine d’antennes paraboliques de 1m de diamètre, motorisées et tourniquant dans tous les sens pour suivre les satellites.

Les concepteurs du GPS ont trouvé une solution heureusement plus simple et carrément géniale. Ils se sont dit qu’en fait, la seule information qui devait réellement être transmise depuis les satellites, c’était une horloge. Un “tic-tac” plutôt qu’un “bip-bip”. Et pour que le récepteur puisse distinguer les “tic-tacs” des différents satellites, chaque horloge est émise sous forme d’un “signal binaire pseudo-aléatoire” différent, une suite de 0 et de 1 comme celle-ci par exemple :

Le récepteur reçoit une dizaine de tels signaux superposés, décalés et noyés dans du bruit. Comment débrouiller tout ça ? “Facile” : en générant des signaux identiques dans le récepteur et en tentant de les “corréler” avec celui qu’on reçoit de l’espace. La corrélation consiste à comparer les bits qu’on a cru reconnaitre dans le bruit avec ceux générés dans le récepteur, puis à décaler légèrement le signal généré et à recommencer. Si pour un certain décalage on trouve un nombre statistiquement significatif de bits correspondants, on sait:

que l’on reçoit effectivement le signal du satellite dont la séquence pseudo aléatoire correspond à celle recréée dans le récepteur
que l’on a synchronisé l’horloge du récepteur avec celle du satellite.

Tout ceci prend un peu de temps, c’est pourquoi un GPS peut mettre plusieurs minutes à s’initialiser à la mise sous tension. Il peut aussi perdre un peu la boule quelques secondes lorsqu’un satellite disparait à l’horizon, avant d’en retrouver un autre, c’est pourquoi la plupart des GPS modernes sont capables de suivre 5,6,7 satellites voire plus et de choisir ceux donnant le meilleur signal voire de les combiner pour améliorer la précision de la mesure.

Mais tant que le récepteur peut identifier 4 satellites et les décalages entre leurs signaux, il peut :

déterminer l’heure exacte
consulter la position des satellites sur leur orbite grâce à une tabelle interne,
calculer la position de l’observateur à la surface de la terre (latitude et longitude)
et éventuellement son altitude, pour un avion ça peut servir.

Génial, non ?

Références:

sur la Wikipedia
le , une page très complète sur le sujet
le , avec formules et code Matlab

Note* : pour rappel, les autres merveilles du monde technologique sont le , le télescope , le du CERN, , et le .