De quelle couleur est l’ours ? 11


Parfois, un membre du C@fé des Sciences lance une « chaîne » de billets sur un thème donné. Là c’est Rock ‘n’ Science qui a lancé la chaîne des blagues à caractère scientifique, déjà complétée par plusieurs de mes estimés confrères. Ayant déjà blogué sur ce thème par le passé et n’osant pas répéter les horreurs circulant sur notre forum interne, ma modeste contribution cette fois-ci se résume à ce petit problème plus mignon que drôle:

Un explorateur quitte son campement et marche 20 km plein sud, puis il tourne à angle droit et marche 20 km tout droit en direction de l’est. Puis il tourne à nouveau à angle droit et marche 20 km parfaitement vers le nord. Il arrive en plein sur son campement, où il découvre un ours en train de dévorer ses provisions.
De quelle couleur est l’ours ?

Le gag, pour autant qu’il y en ait un, est qu’il existe une réponse logique : blanc.

Apparemment, le trajet de l’explorateur est impossible : comme il est revenu à son point de départ, il a parcouru un triangle équilatéral, mais qui possède deux angles droits ! Or les triangles équilatéraux normaux ont 3 angles de 60°, et un triangle rectangle ne peut comporter qu’un seul angle de 90° puisqu’il est bien connu que la somme des angles d’un triangle vaut 180°.

un triangle équilatéral 3x rectangle (illustration GeoTortue)

Sauf que ceci est valable sur le plan de la géométrie euclidienne, alors que nous vivons sur une Terre approximativement sphérique où nous devrions plutôt utiliser la géométrie sphérique dans laquelle la somme des angles d’un triangle vaut toujours plus de 180°.

De plus, les coordonnées géographiques sont bien pratiques dans nos régions, où les directions nord-sud et est-ouest sont bien définies. Mais il existe deux régions au monde où les choses se compliquent : les pôles.

Ce n’est qu’à partir d’un campement situé au pôle nord que notre explorateur peut réaliser le trajet décrit, donc le seul ours qui peut s’y trouver est Ursus maritiums, dit blanc.

(paragraphe corrigé le 3.1.14 suite au commentaire de Sophie) Comme on s’en convainc en observant le dessin ci-contre, l’explorateur revient à sa base selon une direction perpendiculaire à bien différente de sa direction de départ. Tant qu’il reste près du pôle, l’angle au sommet vaut 1 radian, soit 57° environ, mais si son périple descendait jusqu’à l’équateur, il décrirait un triangle équilatéral dont les 3 angles sont droits !

Reste un détail à régler : y’a-t-il vraiment des ours polaires au pôle nord ? Apparemment oui : on en a vu au dessus de 88° de latitude nord, donc à environ 200 km de l’axe de la Terre.

Bon, il n’est pas vraiment drôle cet article, alors j’en rajoute une courte:

Une logicienne rentre de congé maternité. Un collègue lui demande « ton bébé, c’est un garçon ou une fille ? » Elle : « Vrai. »

Le "triangle" qu'aurait pu parcourir l'explorateur autour du pôle Sud

Le « triangle » qu’aurait pu parcourir l’explorateur autour du pôle Sud

Ajout du 9.10.13 : le commentaire d’Ysmi me plonge dans un émerveillement teinté de regrets, voire de honte. J’aurais du être plus prudent en écrivant qu’il n’y a que la solution du pôle Nord. En fait j’en ai cherché une preuve mathématique que je n’ai pas trouvée, car elle n’existe pas : il existe une solution au pôle Sud, trouvée il y a bien longtemps par Martin Gardner, décrite en anglais là et illustrée ci-contre.

En effet, si l’explorateur a établi son campement à environ 23,183 km du pôle sud, en descendant 20 km au sud il arrivera à 3.183 km du pôle, puis en allant tout droit vers l’est il décrira un cercle parfait de 20 km de périmètre avant de rejoindre son campement en marchant plein nord sur le chemin par lequel il est arrivé !

Il y a même une infinité de latitudes autour du pôle Sud ou ceci se produit, car si le camp de l’explorateur se trouve à 20 + 10/n.π km où n est un entier positif, il effectuera exactement n tours du pôle sud en parcourant 20 km vers l’est avant de remonter au nord à son campement.

L’ours a donc une forte probabilité d’être en réalité un manchot déguisé, bien que je doute que ces animaux s’éloignent beaucoup de la côte du continent Antarctique

  • YSmi

    Bonjour,

    J’aimerais apporter une variante à l’énigme de la couleur de l’ours, initialement proposée par Martin Gardner je crois (à vérifier).

    Si on se place sur une latitude, n’importe laquelle, et qu’on se déplace toujours plein est, on finit par revenir à son point de départ, à condition de marcher suffisamment longtemps. Mais si on se place à la latitude 89.96 degré Sud, la distance parcourue avant de revenir à son point de départ est alors d’exactement 90 km (calculs à vérifier, mais de toute façon, il doit exister une latitude où sa marche). Donc si je me place sur n’importe quel point de la mappemonde situé à 90 km au nord de cette latitude 89.6 degré dans l’hémisphère Sud, je peux faire le parcours proposé ! La solution Pole nord est donc loin d’être unique, au contraire, il y en a une infinité située près de pole Sud. On peut aussi rajouter la latitude où la distance à parcourir pour revenir au point de départ est 90/2=45 km, celle de 90/3=30km, et ainsi de suite.

    Bref, la réponse est donc : « l’ours est noir, mais en fait c’est un pingouin ».

    (La blague de la logicienne est l’une de mes préférée, mais il faut bien choisir son public…)

    • Goulu

      WOW ! Une fois de plus j’aurais du me méfier avant d’écrire « (On voit que…, Il est évident que…) Ce n’est qu’à partir d’un campement situé au pôle nord que notre explorateur peut réaliser le trajet décrit. »

      Effectivement, il existe une autre solution autour du pôle Sud décrite ici http://www.qedcat.com/archive/theres_a_bear.html en anglais et en image

  • Denis

    Je voudrais ajouter encore une précision à celle déjà ajoutée avant: il n’existe non pas 2 solutions mais bien une infinité de solutions !

    En effet, on pourrait se trouver au pole nord, ou alors commencer notre voyage vers l’est sur un cercle de 20km de circonférence. Mais on peut aussi prendre un cercle de 10km et en faire 2 fois le tour, ou 20/3 km, ou 5km, ou 4km, et faire plusieurs tours de ce cercle.

    Autrement dit, on peut se trouver soit au pole nord, soit à une infinité de latitudes proches du pole sud, qui nous amèneront chacune à faire un certain nombre de tours en allant vers l’est !

    • Goulu

      Absolument ! Et je re-recomplète l’article en conséquence, merci :-)

  • Alain

    Question naïve d’un naïf : Peut-on considérer que le tour du pôle sud réponde bien à la consigne « marche TOUT DROIT vers l’est » ? J’imagine que la solution est à chercher du côté de la géométrie sphérique mais … je ne vois pas :(

    • Goulu

      Pas moyen d’aller vraiment tout droit sur cette planète… Effectivement, j’étais conditionné par la solution « pôle Nord » alors que pour inclure l’infinité de solutions « Sud », j’aurais du m’abstenir du « tout droit » pour l’Est… Mais « en suivant sa boussole » aurait été équivoque, « selon un parallèle » ou « perpendiculairement aux méridiens » trop géographique… Bref, j’attends vos suggestions d’énoncé « grand public », correct et précis admettant les deux (familles de) solutions

      • Alain

        « Marcher 20 km vers l’Est » semble aller, non ? Ou alors « plein Est » ?

  • Goulu

    Bien sur. Mais n’oubliez pas d’aller consulter les autres billets de la chaîne, notamment http://eljjdx.canalblog.com/archives/2013/10/07/28168290.html qui mentionne le recueil de Bruno Winckler disponible entre autres ici : http://fr.scribd.com/doc/19163556/recueil-de-blagues-mathematiques

  • Sophie

    Pardon mais ce raisonnement est totalement faux : le seul moyen d’obtenir un triangle équilatéral à 3 angles droits sur une sphère est de prendre un triangle dont le côté mesure la distance du pôle à l’équateur, qui est donc loin des 20 kms de l’énoncé.
    En admettant que la personne parte du pôle nord, il lui faudrait aller jusqu’à l’équateur, parcourir la même distance le long de l’équateur, puis cette même distance encore une fois pour retourner au pôle !!!!!
    et même en admettant cela (en supposant que la distance parcourue n’est pas 20km x3), ce raisonnement marcherait quel que soit le point de départ. Le pôle n’est pas différent de n’importe quel autre point de la sphère qu’est supposée être la Terre.

    En revanche, ce problème fonctionne si au lieu de dire qu’on se déplace en ligne droite après avoir effectué un quart de tour, puis encore en ligne droite après avoir effectué un autre quart de tour, on dit que la personne se déplace vers l’Est, puis vers le Nord (après avoir effectué le déplacement vers le sud).

    Mais à ce moment là il faut bien comprendre que le déplacement vers l’Est ne se fait pas en ligne droite, mais le long d’un parallèle semblable au cercle polaire arctique. En effet sur une sphère les lignes « droites » sont les arcs de « grands cercles », c’est à dire des cercles qui tels l’Equateur, sont l’intersection de la sphère terrestre et d’un plan passant par le centre de la sphère (car la ligne droite est le plus court chemin d’un point à un autre, et sur une sphère il s’agit de ce type d’arc).

    • http://drgoulu.com/ Dr. Goulu

      Vous avez parfaitement raison Sophie, merci de m’avoir signalé cette erreur, j’ai corrigé le paragraphe incriminé.

      Effectivement, les pôles ne sont pas différents des autres points de la sphère, c’est la paramétrisation de la surface qui rend certains points singuliers sur la sphère (voir https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_la_boule_chevelue ) Dans une autre vie j’avais utilisé des quaternions pour éviter à des robots de se fracasser en passant par des configurations singulières…

      Vous avez raison aussi sur la définition des droites sur une sphère. Ce point a d’ailleurs aussi été soulevé dans un commentaire d’Alain, et je reconnais ne pas avoir trouvé de formulation du problème à la fois mathématiquement rigoureusement exacte et suffisamment simple pour le néophyte. Ne pas oublier que le but est de déterminer la couleur de l’ours, pas de résoudre un problème de géométrie sphérique…

      • Sophie

        Merci pour votre réponse. Oui tout à fait le but est de trouver la couleur de l’ours, pas de résoudre un problème de géométrie sphérique, d’autant plus que…. ce n’est PAS un problème de géométrie sphérique du tout.
        Le fait que sur une sphère la somme des angles d’un triangle est supérieure à 180° n’a pas de rapport avec le problème, puisqu’en définitive la personne ne parcourt pas un triangle, mais deux segments et un arc de cercle. Le fait d’être sur une sphère n’intervient pas du tout : une telle trajectoire permet de revenir au point de départ si on se déplace sur un plan !
        Pour ce qui est de la juste formulation du problème, comme l’a dit Alain, « marcher 20km vers l’Est » convient tout à fait, à partir du moment où on ne parle pas d’aller « tout droit » ou « en ;ligne droite ».
        Pour ce qui est de la solution, le paragraphe sur la géométrie sphérique devrait être retiré car il n’est pas pertinent.
        En tout cas grâce à vous j’ai découvert l’existence d’autres solutions que le pôle Nord à ce problème : merci.