Chasse aux nombres acratopèges 21   Modifié récemment


En utilisant l’ Encyclopédie en ligne des suites de nombres entiers pour un article précédent, j’ai découvert qu’elle pouvait m’aider pour une vieille idée : la recherche de nombres acratopèges.

Le mot “Acratopège” signifie “sans propriété particulière” et on ne le trouve plus que sur l’étiquette de quelques bouteilles d’eau faiblement minéralisée.

Les nombres entiers sont soit pairs, soit impairs. Certains sont premiers, d’autres des carrés ou des cubes d’autres nombres. Au fil des siècles, les mathématiciens ont ainsi défini des centaines de propriétés particulières dont jouissent certains nombres et ont rangés les nombres en suites définissant ces propriétés:

  • 2,3,5,7,11,13,17, 19, 23 … : les nombres premiers
  • 1,2,4,8,16,32,64,128 … : les puissances de deux
  • et des centaines d’autres

Les petits nombres ont énormément de propriétés. En cherchant “1” dans l’encyclopédie, on trouve 141’541 resultats, pour “2” :  117’375,  pour “3” : 92’953, et pour “1963”, mon année de naissance :  401 …

Je me suis demandé quels sont les nombres qui apparaissent le moins dans ces suites, et puisqu’ils n’ont aucune propriété particulière, méritent d’être qualifiés d’acratopèges.

1548 : le nombre de Zinzin

Zinzin était un prof de maths célèbre du Collège de St-Maurice. Au début des années 80, ses cours étaient de véritables shows et je repense à lui chaque fois que je “fais Barbe Bleue”* avec une équation et chaque fois que je croise son nombre fétiche : 1548.

Tous les problèmes posées par Zinzin avaient la même solution : 1548 ou une de ses variations comme 1.548, 720 (= 15×48 ) ou encore 31.6348490636206336. Etonné par ce dernier résultat, j’avais dit à Zinzin que je m’étais probablement trompé quelque part et il m’avait suggéré d’en prendre la racine 8-ième : oui c’est bien 1.54^8 …

Zinzin comptait ainsi : “0,1,e,pi,1548, beaucoup”. Selon lui, 0,1,e et pi suffisent à construire les mathématiques avec “Beaucoup” , qui est une notion moins perturbante que l’infini. Et 1548, était un nombre quelconque, sans propriété particulière.

Une génération d’étudiants a cherché pourquoi Zinzin chérissait 1548 plus que tout autre nombre, mais il ne semblait justement pas y avoir de raison. 1548 est-il un nombre acratopège ?

l’Encyclopédie des suites nous apprend que 1548 appartient à pas moins de 115 suites comme :

  • A135189: Nombres n qui, élevés aux puissances de 1 à 4, sont multiples de la somme de leurs digits :
    • 1548 = 86 x (1+5+4+8 )
    • 1548^2 = 2396304 = 88752 x (2+3+9+6+3+0+4)
    • 1548^3= 3709478592 = 68694048 x (3+7+0+9+4+7+8+5+9+2)
    • 1548^4=5742272860416 = 106338386304 x (5+7+4+2+2+7+2+8+6+0+4+1+6)
    • (ça ne joue plus avec 1548^5…)
  • A112557 : Plus petit nombre de pierres au Tchoukaillon qui utilise le (2*n-1)-ème trou
  • et autres folies de mathématiciens

Mais il est vrai qu’avec 115 résultats, 1548 a peu de propriétés, nettement moins que  ses voisins 1547 (151) et que 1549 (304) par exemple. C’est un nombre que je qualifierais de “faiblement minéralisé” plutôt que d’acratopège.

1729 : Le nombre de Hardy-Ramanujan (et Goulu)

Sur les traces de Zinzin, je m’étais mis en tête de trouver mon propre nombre fétiche et ai choisi 1729, en raison d’une histoire légèrement brodée par le fameux Zinzin. Le mathématicien Hardy avait pris le taxi numéro 1729 pour rendre visite à Ramanujan et en chemin il avait trouvé ce nombre acratopège : il lui semblait qu’il n’avait aucune particularité. Mais en arrivant, Ramanujan dit immédiatement “Non ,c’est un nombre fort intéressant ; c’est le plus petit que l’on puisse exprimer comme somme de deux cubes de deux manières différentes.” En effet, 1729 = 123 + 13 = 103 + 93

Depuis, un tel nombre est appelé “nombres taxicab” et 1729 est le plus petit taxicab-2. Faisant confiance à l’instinct de Hardy, j’espérais donc que ce soit la seule propriété remarquable de 1729, mais hélas, il y a 369 suites répertoriées contenant 1729 qui est donc un nombre bien moins acratopège que celui de Zinzin.

Seule consolation, il n’y a que deux suites connues contenant 1548 et 1729, dont une dans laquelle les deux nombres se suivent, celle des nombres dodécagonaux donnés par la formule An=n.(5n-4)

(à part que A2=12, je ne vois pas le rapport avec les dodécagones, si quelqu’un peut m’éclairer…)

La chasse est ouverte !

Quel est le plus petit nombre entier qui n’apparaît dans aucune suite de l’Encyclopédie ? et ceux qui n’y apparaissent qu’une fois ?

On peut répondre à ces questions facilement car le contenu de la base de données est disponible en format texte et qu’un petit programme vite fait en Python peut y compter le nombre d’occurrences des nombres dans les suites en quelques secondes minutes et produire une fichier lisible sous Excel…. et voilà !

  • 8795, 9935, 11147, 11446, 11612, 11630, … sont les premiers nombres parfaitement acratopèges : ils ne figurent dans aucune des suites de la base ! On pourrait définir une suite “Acra0” avec ces nombres définis comme n’apparaissant que dans Acra0 …
  • 8267, 9734 sont les premiers nombres de la suite Acra1. Ce sont les seuls nombres inférieurs à 10’000 qui n’ont qu’une seule propriété répertoriée :
    • 8267 est un nombre tel que la juxtaposition de tous les précédents dans la suite est un nombre premier. Autrement dit le nombre (oubliez les virgules et les espaces, considérez ce qui suit comme un seul nombre entier) : 1, 3, 7, 11, 13, 29, 37, 113, 121, 149, 151, 201, 219, 251, 451, 453, 573, 669, 689, 697, 749, 913, 969, 1157, 1269, 1503, 1531, 1809, 2087, 2163, 2179, 2511, 2537, 2599, 2709, 2789, 2929, 3243, 3989, 4033, 4151, 5019, 5389, 5423, 5599, 6179, 6433, 8267 est premier …
    • 9734 me plait particulièrement : 11 ème terme de sa suite, c’est le nombre de polyminos différents de 11 carrés dont le périmètre vaut 24, qui est le périmètre maximal de ces polyminos. C’est plus clair si on parle dupentomino classique : le 5ème terme de la suite dit qu’il en existe 11 dont le périmètre vaut 12. Effectivement, seul le “P” a un périmètre de 10. Wow !
  • 7495, 8758, 9820, … ont deux propriétés seulement. Ils définissent la suite Acra2
  • 5974 est le plus petit nombre avec 3 propriétés
  • Acra5 commence par 5217
  • Acra10 commence par 3962
  • 1238 est le plus petit nombre avec moins de 100 propriétés (88 )

Voilà, vous connaissez désormais les nombres les moins utiles des mathématiques !

  • Mats

    Je crois bien que dans Bords (1963), Raymond Queneau donne la démonstration suivante que tout nombre naturel est intéressant: supposons le contraire. Il existe donc des nombres non intéressants. Nommons n le plus petit de ceux-ci. Mais alors n est intéressant, puisqu’il est le plus petit nombre non intéressant, ce qui est absurde. La démonstration s’étend aux rationnels, mais pas aux réels (même avec l’axiome du choix, qui ne garantit que l’existence d’un bon ordre mais ne le construit pas). Je propose donc de chercher les nombres acratopèges dans R…

    • Merci pour l’info, je suis un fan d’Oulipo mais je n’ai pas lu “Bords“. Je le cherche d’autant plus activement (pdf anyone?) qu’il date d’une excellente année … Et il serait ainsi antérieur au “Les nombres remarquables” de François Le Lionnais de 1983 que Marc Giustavino m’a signalé plus bas.

      Mais à mon humble avis (que je pense partagé par des logiciens plus qualifiés), la démonstration ne tient pas: le nombre de propriétés (connues) d’un nombre n’est pas une propriété du nombre, mais le cardinal de l’ensemble de ses propriétés. C’est une “propriété des propriétés”, donc une “méta-propriété” 🙂

      Voir le 6ème de mes 10 livres préférés à ce sujet

      • je le cherche d’autant plus qu’en cherchant sur Google Books je constate que c’est dans ce bouquin que se trouve l’anecdote sur Ramanujan qui est à l’origine de tout ceci !

      • Mats

        Je ne vois pas bien l’argument sur le nombre de propriétés, la démonstration de Queneau n’y fait pas référence. Par contre, la notion de nombre intéressant n’est pas bien définie a priori (avant démonstration), et c’est le fait que l’on modifie cette notion pendant la démonstration qui la rend boiteuse. Je ne pense pas que la distinction entre propriété et méta-propriété soit importante ici ou ailleurs: par exemple, les démonstrations des théorèmes d’incomplétude de Gödel mélangent les méta et non méta dans le processus de gödelisation.

  • Bonjour,

    votre article m’a beaucoup plu. Je me permets de relever un problème dans un argument que vous mentionnez dans la discussion, bien que vous l’ayez abandonné entre-temps :

    Initialement, je me disais que les « non-propriétés » ne devraient pas être considérées car, par exemple, tous les entiers étant soit pairs soit im-pairs, il ne pourrait exister aucun nombre parfaitement acratopège.

    En fait, si “pair” était une propriété, même en considérant “im-pair” comme une non-propriété, il n’y aurait aucun nombre acratopège ; car alors, “multiple de 3” serait une propriété aussi, ainsi que “multiple de n”, et bien sûr, “premier”.

  • Samuel Lelièvre

    Sur la notion de nombre dodécagonal, lire
    http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_polygonal

    Sur la question de savoir si ne pas avoir de propriétés est une propriété, voir les paradoxes de Berry, Richard, Russell, Burali-Forti.
    http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_Berry
    http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_Richard
    http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_Russell
    http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_Burali-Forti

  • 318

    Bonjour, il me semble que la racine 8ieme de X s’écrit non pas X^8 mais bien X^(1/8)

    juste une toute petite erreur a corriger.

    salutation

    • Désolé, c’est le texte qui n’est peut être pas clair, mais les maths sont justes : il faut prendre la racine 8ème de 31.6348490636206336 pour s’apercevoir que 31.6348490636206336 = 1.54^8

  • Les nombres acratopèges sont cités (mais non sourcés…) dans l’édito du “Pour la Science” No 408 d’Octobre 2011, truffé d’articles intéressants par ailleurs

  • Thalès

    Bonjour, je suis en enseignant en mathématiques. Je trouve votre idée fort sympatique de partage à la recherche des nombres acratopèges. Cependant j’ai quelques remarques à vous faire.
    J’ai un peu l’impression que la définition même de nombre acratopègeest “vicieuse”.
    En effet, si un nombre possède des propriétés, on va dire qu’il n’est pas acratopège.
    Mais s’il n’a aucune propriété “remarquable”, on va le qualifier d’acratopège. Or, le fait de nommer ce nombre, le faire entrer dans cette catégorie de nombre fait de lui un nombre qui a une propriété, et il n’est donc plus acratopège.
    J’ai vu que pour éviter ce problème, vous parlez d’un classement en fonction du nombre de propriétés qui se réfèrent à ce nombre.
    Mais le nombre que vous avez classé en Acra0, qui n’avait pas de propriété, s’en voit une nouvelle apparaître, qui est justement d’être Acra0 !
    Donc, comme ce nombre a une propriété, il devrait être classé en Acra1 ! Mais ce nombre aura donc deux propriétés dès lors, celui d’Acra0 et Acra1 donc il sera Acra2 !
    Et on peut continuer le raisonnement à l’infini.

    Au final, si un nombre a la propriété d’être acratopège, il ne l’est plus.
    Cordialement.

    • Oui, votre remarque est défendable et d’ailleurs partagée par d’autres commentateurs, y compris par Jean-Paul Delahaye avant que nous ne collaborions un peu sur le sujet. Il a d’ailleurs remarqué aussi que mon classement évoluait avec le temps car l’encyclopédie de Sloane s’étend assez vite, ce qui fait que certains nombres acratopèges ne le sont plus autant aujourd’hui. C’est d’ailleurs la raison pour laquelle Sloane a refusé d’intégrer la suite Acra0 à l’encyclopédie : elle n’est pas stable.

      Initialement, je me disais que les “non-propriétés” ne devraient pas être considérées car, par exemple, tous les entiers étant soit pairs soit im-pairs, il ne pourrait exister aucun nombre parfaitement acratopège. Or de ce point de vue Acra0 est une “non-propriété” et ne devrait donc pas être comptée dans les propriétés.

      A la réflexion et à la suite de l’article sur les “nombres minéralisés”, je considère maintenant que mes suites AcraX ne définissent pas des propriétés, mais des “méta-propriétés” : ce sont des propriétés liées au nombre de propriétés (connues) du nombre.

      En poussant dans cette direction, on remarque qu’il existe des propriétés plus “fondamentales” que d’autres. Comme je le montre dans “nombres minéralisés”, les nombres premiers, les puissances entières et les nombres fortement composés (propriétés sont mutuellement exclusives) ont simultanément beaucoup d’autres propriétés, pour une raison encore peu claire.

      Plutôt que de compter simplement les propriétés connues de chaque nombre en les considérant toutes à égalité comme je le fais, ne pourrait-on pas définir une mesure plus rigoureuse de l’ “intérêt” ou de l'”importance” d’un nombre ?

    • Marc Guastavino

      C’est aussi la remarque de François Le Lionnais dans son livre « Les nombres remarquables ». Il énumère les propriétés des nombres (entiers) dans l’ordre croissant. Puis arrive au premier nombre sans propriété, le cite comme ayant cette propriété, puis continu…

      • merci de rendre à César. J’ignorais que ce sujet avait déjà été traité, mais ça ne m’étonne pas que ce soit par un oulipien. Un heureux possesseur du bouquin pourrait-il indiquer ici quel était le premier nombre “sans propriété” découvert par François Le Lionnais au début des années 1980?

        • Marc Guastavino

          39 – Le plus petit entier pour lequel nous ne connaissons aucune propriété remarquable. Le fait d’être le plus petit ne sera pas considéré comme une propriété remarquable afin d’éviter une récurrence redoutable dans la suite de la collection.
          voir en ligne quelques nombres sur :
          http://www.echolaliste.com/l1329.htm

  • Pingback: La minéralisation des nombres « Dr. Goulu()

  • Suite à un passage du “Bloc Notes” de Didier Norton dans Pour la Science consacré aux propriétés des nombres, j’ai soumis ce petit commentaire :

    je me suis posé la question il y a quelques mois de savoir quels nombres avaient le moins de propriétés [1] en utilisant l’Encyclopédie en ligne des nombres entiers [2]. Le plus petit nombre ne jouissant d’aucune propriété particulière selon cette Encyclopédie est 11630 (les nombres plus petits que j’avais trouvés ont reçu des propriétés entre temps…). J’avais qualifié d'”acratopèges” ces nombres dépourvus de propriétés. Par opposition, les nombres riches en propriétés sont dits “minéralisés”. Le plus minéral des nombres est, sans surprise, 1 , qui apparait dans 151002 suites répertoriées par l’Encyclopédie à l’instant où j’écris ces lignes.

    Avec mes meilleures salutations et voeux pour 2009 (123 propriétés) !

  • Pingback: Palindrome de 196 « Dr. Goulu()

  • M’aperçois que j’ai oublié de raconter l’histoire de “faire Barbe-Bleue” avec les équations… Je la raconte sur facebook ici : http://www.new.facebook.com/topic.php?uid=2351145947&topic=7286

  • reçu par mail de René :

    Je viens de lire avec plaisir ton article sur les nombres acratopeges et surtout sur le nombre fetiche de Zinzounnet.

    J’ai aussi quelques bons souvenirs de Zinzin – ‘catelliser’ une fonction, le japonais mitrailleur, Olga l’espionne qui venait du froid, les cubes de glace fondant dans un verre de whiskey, la momie egyptienne, etc.

    Ma modeste contribution a la legende de Zinzin est l’histoire suivante, venant directement de la bouche dudit Zinzin, donc parfaitement authentique comme tout ce qu’il nous disait: un beau jour un etudiant demanda a Zinzin ce que l’heure 8h51 representait pour lui. Il repondit que c’etait son heure de naissance. L’etudiant en question prit alors sa machine a calculer, introduisit ‘1548’, la retourna et lut a l’envers: 8h51 !

    Une pierre de plus a la legende de Zinzin.

    Peut-etre aussi la naissance d’une nouvelle serie de nombres : la serie Goulu des nombres acratopeges qui ont un sens non-mathematique, tel que visuel (‘M’ = 1 + son symetrique, etc.), phonetique dans la langue de leur inventeur, etc ?

  • thidgr

    Avec la notion “d’acratopège”, il y a du paradoxe dans l’air…