Le temps, une 4ème dimension imaginaire 17


photo d’arrigoceramista sur flickr

Dans « voir en 4 dimensions« , je montre comment un cube peut aider à se représenter une 4ème dimension spatiale facilement.

Ce deuxième article explique pourquoi le temps, la 4ème dimension de l' »espace-temps » dans lequel nous vivons, n’est pas une dimension spatiale comme les 3 autres, mais une dimension « imaginaire », au sens mathématique du terme : un temps élevé au carré est équivalent à une surface négative !

Imaginez qu’un cube de côté égal à 1 mètre surgisse du néant devant vous et disparaisse tout aussi soudainement 1 seconde plus tard. Le cube a donc été « étiré » dans la dimension du temps sur une distance de 1 seconde, et si vous êtes un « dieu » pour qui le temps est une dimension comme les autres, vous verriez cet événement comme un hypercube flottant dans un espace à 4 dimensions tel que décrit dans l’article précédent.

Mais le temps est-il une dimension « comme les autres » ? Le fait qu’on mesure le temps en secondes et les distances en mètres nous met sur la piste d’une différence fondamentale, qui tient à la manière dont on mesure les distances dans un espace.

Comment faire si une dimension ne se mesure pas dans les mêmes unités que les autres ? L’idéal serait de trouver un moyen de convertir les secondes en mètres. Et c’est ce qu’a fait Albert Einstein entre autres, en montrant que la vitesse de la lumière appelée « c » est une constante absolue, parce que justement elle mesure le rapport entre l’espace et le temps en chaque point de l’Univers : 1 seconde vaut 300’000 km.

Autrement dit, le »dieu à 4 dimensions » verrait le cube de tout à l’heure immensément allongé dans la direction du temps. Pour qu’il lui apparaisse comme parfaitement hypercubique, il n’aurait du apparaitre que pendant 1/300’000’000 de seconde.

Mais ça ne suffit pas pour prouver que le temps soit une dimension « comme les autres ». Les 2 dimensions d’une feuille de papier, tout comme les 3 dimensions de l’espace sont « euclidiennes » parce qu’on peut mesurer les distances entre des points par le théorème de Pythagore. Vous savez, celui qui dit que la carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés.

  • la diagonale de notre carré à 2 dimensions de côté 1 vaut \(\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}\)
  • la diagonale de notre cube à 3 dimensions de côté 1 vaut  \(\sqrt{1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3}\)
  • mais la diagonale de l’hypercube unité dans l’espace temps vaut-elle vraiment \(\sqrt{1^2+1^2+1^2+1^2}\), soit 2 ?

Cela revient à la question « comment mesurer la distance entre deux points distincts dans l’espace et le temps ? »

Pour y répondre, nous allons nous intéresser aux cercles et aux sphères plutôt qu’aux cubes, parce que tous les points sur un cercle ont la particularité d’être à la même distance du centre, comme d’ailleurs tous ceux à la surface d’une sphère. C’est même la définition mathématique de ces objets.

Commençons par remarquer que cette distance est toujours positive : le carré de l’hypoténuse ne peut jamais être un nombre négatif.

Maintenant, imaginons une ampoule située sur la Lune à une distance d=300’000 km d’ici et qui s’allume là bas exactement … top ! maintenant. Elle nous paraîtra s’allumer exactement en même temps qu’une ampoule allumée ici t=1 seconde plus tard, autrement dit la « distance à 4 dimensions » d entre les 2 allumages d’ampoules et le « top » est la même.

Disons que le « top » est aux coodonnées (0,0,0,0), l’ampoule qui s’allume sur la Lune est aux coordonnées (x,y,z,0), et l’ampoule dans le labo aux coordonnées (0,0,0, c.t), c étant la vitesse de la lumière et t le temps après lequel on voit l’ampoule s’allumer, 1 seconde dans l’exemple.

On a donc: \(d= c.t =\sqrt{ x^2+y^2+z^2}\),
soit: \(d^2= c^2.t^2 = x^2+y^2+z^2\),
ce qui donne la relation : \(\boldsymbol{x^2+y^2+z^2-c^2.t^2 = 0}\)

Plus généralement, la distance d entre deux événements situés en (x,y,z,t) et en (x’,y’,z’,t’) dans l’espace-temps s’écrit

d=(x-x’)2+(y-y’)2+(z-z’)2 – c2.(t-t’)2

Ce n’est pas une distance euclidienne à cause du signe « moins », donc le temps n’est pas une dimension « comme les autres », même après l’avoir transformé en distance grâce à la vitesse de la lumière. L’espace-temps n’est donc pas un espace euclidien, mais un espace de Minkowski.

A moins que l’on puisse remplacer c par quelque chose qui deviendrait négatif en l’élevant au carré, mais le carré de tous les nombres réels est positif … On ne peut faire intervenir que le nombre imaginaire i, tel que i2=-1 par convention.

Avec cette astuce, la distance devient « euclidienne » parce qu’on peut l’écrire : d=dx2+dy2+dz2 + c2(i.dt)2

Mais ceci montre que le temps est une dimension très spéciale car, tout en étant « perpendiculaire » à l’espace, on doit accepter qu’une distance mesurée entre deux événements dans le temps, au carré, correspond à une surface négative : le temps est donc une dimension « imaginaire » de l’espace-temps.

Références:

  • Pingback: Les particules sont-elles de petits noeuds ? « Dr. Goulu()

  • Philip

    On en peut pas  »voir » la 4e dimension parce
    que nous avons perdu cette faculté…De
    même que la poule ne comprends pas la
    3e dimension et ne perçoit que le plan à 2
    dimensions et ne verrait que l’empreinte qu’
    une roue ferait sur le sol en y roulant et cela
    semblerait apparaitre comme par magie à
    sa perception bidimensionnelle…
    Bonne réflexion !

    • Fa

      L’aurions-nous un jour acquise, pour l’avoir perdue ???

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  • foxmulder

    J’y avais déjà pensé, et trouve cela très « intéressant ».
    Mais il faut bien reconnaître que cela n’a pas beaucoup de sens, au delà du jeu de mot savoureux, ou plutôt que ça avance peu la question de la nature du temps…
    Encore plus intéressant, je trouve, est le fait qu’un espace-temps est implicitement statique, il ne peut évoluer dans le « temps »… Et qu’est ce qu’un espace-temps statique sinon une conception déterministe… Le succès du modèle d’espace-temps de minskovski est-il un argument philosophique en faveur du déterminisme ?

    • http://drgoulu.com Dr. Goulu

      Bienvenue, vous semblez mur pour attaquer ma série d’articles sur le temps et sa nature :-)

      En effet, la théorie de la relativité conduit assez naturellement à une vision « universaliste » du temps dans laquelle un « univers-bloc » à 4 dimensions contient le passé et le futur, figés, le temps étant une sorte de surface de coupe qui se propage dans le bloc, on ne sait pas trop comment. Définir la particularité du présent est la grande difficulté des universalistes. Dans cet univers, il n’y a pas de libre-arbitre et tout est effectivement prédéterminé.

      A l’inverse, la physique quantique défend plutôt la une vision « présentiste », dans laquelle seul le présent existe, le temps étant une illusion induite par les petites asymétries dans les probabilités de changement du « vecteur d’état », qui contient l’état de toutes les particules de l’Univers. C’est mathématiquement très beau, mais je n’ai pas encore compris comment le GPS peut fonctionner selon cette approche, ou autrement dit ce qui oblige les photons à se déplacer à une vitesse (illusoire) remarquablement constante dans un univers gouverné par les probabilités…

      Combiner ces deux visions solides mais incompatibles est un vrai gros défi, pour ne pas dire LE gros challenge de la physique moderne.

      Pour ma modeste part, en étudiant ce sujet je suis devenu « no futuriste » : la relativité n’a en fait pas besoin que le futur pré-existe, seul le passé doit être figé dans un bloc, dont la surface (à 3 dimensions dans un espace de Minkowski à 4) serait le présent. je vois assez bien ce présent comme une sorte de « transition de phase » de l’information, une surface où les probabilités quantiques, une sorte « d’information gazeuse » se « condense » en faits observables et déterminés. Mais je n’ai pas le niveau requis en maths pour pousser cette intuition plus loin…

      D’autre part, je me demande s’il ne serait pas temps (…) d’envisager une vérification expérimentale de la nature du temps, et par la même occasion de l’existence du libre-arbitre… A part la construction d’une machine à remonter le temps, on pourrait peut-être détecter des antiparticules cosmiques pour voir si elles sont émises par des évènements futurs (voir l’article sur la symétrie), ou d’autres expériences proposées dans certains articles du concours fq(x) auxquelles je n’ai rien compris…

      • Fa

        La vision ‘universaliste’ du temps dans laquelle un « univers-bloc » à 4 dimensions contenant le passé et le futur me semble totalement illégitime. Pourquoi ? Parce-qu’elle contredit la raison d’être de la relativité :
        En RG toute description de l’espace-temps doit-être relativisée à un observateur donné.
        Postuler l’existence d’un univers-bloc revient à tenter d’objectiver un temps qui serait universellement valide. Mais en fait il y a autant de blocs qu’il y a d’observateurs. Et il y a autant de variétés d’espace-temps qu’il y a d’observateurs.
        C’est que la relativité générale est une théorie locale, et donc elle interdit dans ses fondements même la démarche qui consisterait à tenter une généralisation concernant le temps lui-même qui dans ce modèle
        perdrait sa faculté essentielle, qui consiste à pourvoir s’écouler…Ce modèle d’univers-bloc découle donc à mon avis d’une mauvaise compréhension de la relativité, qui par ailleurs admet un présent bien défini, qui est désigné comme étant le Temps Propre de l’observateur.

        • http://drgoulu.com/ Dr. Goulu

          Je ne vois pas de contradiction entre l’éternalisme et la relativité, restreinte ou générale. Les observateurs faisant partie de cet univers bloc, leurs perceptions du « présent » correspondent pour chacun à une coupe conique de ce bloc selon leur « cône de lumière », l’univers bloc garantissant la cohérence entre ce qu’observent des observateurs « causalement indépendants ».

          Je ne suis pas un spécialiste, mais vous verrez en lisant par exemples quelques essais soumis au concours Fqxi dont je cause ici http://www.drgoulu.com/2009/03/28/les-natures-du-temps/ que cette conception (ou des variantes) est soutenue par nombre de cosmologistes et n’est pas « tout simplement absurde ».

          Avec le présentisme, conception opposée populaire parmi les physiciens « quantiques », la difficulté est justement de décrire comment le « vecteur d’état » de l’univers peut être perçu différemment par des observateurs distincts…

          Pour ma part, je trouve que le « no-futurisme » représente un compromis intéressant…

          • Fa

            Les cônes de lumière n’ont pas de lien direct avec l’univers-bloc.Ils permettent de définir les conditions limites permettant l’existence de relations de causalité.
            La perception du « présent » n’est pas de forme conique, c’est un plan de coupe de l’univers-bloc quadridimensionnel selon une section 3D orthogonale à la direction du mouvement de l’observateur l’angle de coupe étant fonction de sa vitesse.
            Si vous me dites par ailleurs que selon cette conception « il n’y a pas de libre-arbitre et tout est effectivement prédéterminé. » Je vous demande comment vous arrivez à cette conclusion ?
            Affirmer que dans cette conception tout est pré-déterminé est une pétition de principe, puisqu’il n’existe aucun observateur, ayant une vue panoramique de l’univers-bloc, qui pourrait confirmer cette
            affirmation.
            Et pourquoi un tel super-observateur n’existe-t-il pas ? Parce que les évènements perçus sont relatifs à un observateur. C’est l’essence de la relativité. Et pour un observateur quelconque les évènements qu’il perçoit n’ont aucun caractère prévisible qui permettrait d’inférer une absence de libre-arbitre, ou un prédéterminisme des évènements.
            Le modèle de l’univers-bloc sort donc la relativité de son domaine de validité, et se heurte à d’insolubles contradictions.

            • http://drgoulu.com/ Dr. Goulu

              Je ne suis pas un défenseur de l’univers bloc. Je ne fais que mentionner que c’est l’une des deux grandes conceptions du temps en physique (l’autre étant celle du « vecteur d’état » des « présentistes ») J’ai découvert cela lors d’une conférence d’Etienne Klein qui a déclenché plusieurs articles sur la nature du temps (http://www.drgoulu.com/tag/temps/page/2/ ) . Les deux conceptions sont aussi incompatibles que la relativité et la mécanique quantique, en attente de Grande Unification, et c’est ce qui fait l’intérêt de la question.

              Sur la physique, vous trouverez certainement votre bonheur dans les articles soumis au concours Fqxi. Vous y verrez que l’Univers bloc est soutenu par les scientifiques plutôt « cosmologistes », donc ne doit pas être si contraire à la relativité que ça. L’idée est justement que seul l’univers bloc permet de rendre cohérents les « plans de coupe » (ou cônes de lumière, qui en sont la projection sur un plan complexe dimension d’espace / dimension temps) des divers observateurs. Ces plans de coupe s’intersectent (des Andromédiens et nous pouvons observer les mêmes supernova)

              Si j’ai bien compris, la prédétermination résulte du fait qu’on ne suppose justement pas d’observateur privilégié. « moi » dans 10 ans en train de fêter mon départ à la retraite existe au même titre que « moi » il y a dix ans fêtant les 9 ans de ma fille. Heureusement il y a des théories alternatives comme celui de l’univers qui « branche » à chaque instant en fonction de « choix » quantiques, ou celle que je préfère du « no-futurisme » qui définit le présent comme la frontière entre un futur « quantique » défini par des probabilités et un passé figé dans un bloc dont nous observons une coupe.

              Sur les aspects philosophiques liés au libre-arbitre je vous conseille le blog philodutemps dont l’auteur a passé une thèse sur le sujet. Nous avons eu des discussions passionnantes… partez par exemple de ce billet http://philodutemps.free.fr/?p=449 Le sujet est proche de la question du https://fr.wikipedia.org/wiki/Compatibilisme qui fait toujours débat parmi les philosophes des sciences.

              Pour ma part j’ai une attitude empiriste. Puisqu’on commence à pouvoir imaginer comment créer des boucles de genre temps et que certains proposent des expériences pour tester l’existence du libre-arbitre, et bien essayons dès que possible!

              En tout cas bienvenue dans le monde passionnant de la physique du temps.

              • Fa

                « Si j’ai bien compris, la prédétermination résulte du fait qu’on ne
                suppose justement pas d’observateur privilégié. « moi » dans 10 ans en
                train de fêter mon départ à la retraite existe au même titre que « moi »
                il y a dix ans fêtant les 9 ans de ma fille. »
                Oui je comprends bien l’idée mais elle repose sur une confusion entre « temps » et « simultanéité » . Supposons que vous transmettiez vos messages d’une planète située à 9 années lumière de l’endroit où je me trouve. Et bien le message que vous écrivez dans votre temps propre, mettra 9 années à me parvenir. Autrement dit comme il n’y a pas de simultanéité absolue, votre présent à vous correspond à une perception située à 9 années dans mon futur.

                Mais il s’agit d’un pré-déterminisme de la perception, non un prédéterminisme du temps. De mon point de vue d’observateur distant de 9 années lumières, les signaux que vous me faites parvenir sont prédéterminés depuis 9 ans. Ils ne varieront plus dans leur contenu.

                Mais au delà de ces 9 ans je ne peux plus statuer sur la nature pré-déterministe de l’information que je reçois. La relativité ne supprime pas l’écoulement du temps dans sa dimension absolue, en tout lieu de l’espace-temps existe un temps qui s’écoule de manière univoque et irréversible du passé vers le futur via un présent absolu. Mais le problème est que la perception du présent ne peut plus être univoque, elle est fonction de l’observateur, car le présent est toujours défini localement en terme de temps propre. Sorti de ce cadre on tombe dans un pseudo-temps prédéterminé de la simultanéité relative.
                Supposons un instant qu’un observateur très distant, du fait de son mouvement, ait une coupe de simultanéité mettant en relation son présent propre avec la naissance de Ramsès II.
                Cela signifie-t-il que Ramsès II vient de naître, dans l’absolue ? Et qu’il est encore en vie ?
                Seul l’observateur situé sur terre, peut le dire, car il se trouve sur la même ligne d’univers que Ramsès. L’observateur terrestre, sait que l’histoire de Ramsès II appartient au passé et cela de manière absolue.
                Le problème est qu’un observateur lointain n’a aucune information sur la position de notre présent propre par rapport au sien, il ne peut avoir qu’ une perception relative de l’information qui lui parvient, qui est fonction de son référentiel.
                Ramsès II est mort et enterré mais comme l’information met du temps à se transmettre sur de longues distance, cette information peut appartenir au présent perceptif de certains observateurs où au futur d’autres.
                Cela signifie-t-il que le temps est pré-déterminé ? Non ! Ce serait mettre sur un même plan, information et la causalité.

  • Pingback: Au commencement du temps 2) En voiture vers l’origine (le graal de la physique) | Thomassonjeanmicl's Blog()

  • Daniel

    Je trouve que vous êtes donnes beaucoup de complication….tout d’abord pour calculer la distance entre deux événements de l’espace temps…..pourquoi vous n’utilisez pas LES TRANSFORMATIONS DE LORENTZ…….La quatrième ne peut être ni vu ni dessiner dans la troisième dimension……Le fameux hypercube que l’on voit partout même dans les les livres de physique ( étonnant) n’est qu’une mauvaise compréhension de la quatrième dimension spatiale.

    • http://drgoulu.com/ Dr. Goulu

      Oui, effectivement j’aurais du citer la https://fr.wikipedia.org/wiki/Transformations_de_Lorentz dans cet article, car c’est exactement de ça qu’il s’agit. Le but était de l’expliquer avec des mots plutôt qu’avec une équation « tombée du ciel »

      Le tessearct ( https://fr.wikipedia.org/wiki/Tesseract ) est une figure géométrique parfaitement définie dans l’espace EUCLIDIEN à 4 dimensions, que l’on peut très bien projeter dans l’espace à 2 dimension euclidienne par une matrice idoine. mais dans le présent article j’explique justement que la 4ème dimension n’est pas « spatiale » mais imaginaire, ce qui conduit à l’espace (non euclidien) de Minkowski, dans lequel la transformation de Lorentz est définie.

      J’ai essayé de bien expliquer cette distinction dans cet article, qui n’est pas illustré par un tesseract :-)

      Si ce sujet vous intéresse, je vous recommande http://www.drgoulu.com/2011/01/30/pourquoi-3-dimensions-1-temps/