le temps, une 4ème dimension imaginaire

photo d'arrigoceramista sur flickr

Dans "voir en 4 dimensions", je montre comment un cube peut aider à se représenter une 4ème dimension spatiale facilement.

Ce deuxième article explique pourquoi le temps, la 4ème dimension de l'"espace-temps" dans lequel nous vivons, n'est pas une dimension spatiale comme les 3 autres, mais une dimension "imaginaire", au sens mathématique du terme : un temps élevé au carré est équivalent à une surface négative !

Imaginez qu'un cube de côté égal à 1 mètre surgisse du néant devant vous et disparaisse tout aussi soudainement 1 seconde plus tard. Le cube a donc été "étiré" dans la dimension du temps sur une distance de 1 seconde, et si vous êtes un "dieu" pour qui le temps est une dimension comme les autres, vous verriez cet événement comme un hypercube flottant dans un espace à 4 dimensions tel que décrit dans l'article précédent.

Mais le temps est-il une dimension "comme les autres" ? Le fait qu'on mesure le temps en secondes et les distances en mètres nous met sur la piste d'une différence fondamentale, qui tient à la manière dont on mesure les distances dans un espace.

Comment faire si une dimension ne se mesure pas dans les mêmes unités que les autres ? L'idéal serait de trouver un moyen de convertir les secondes en mètres. Et c'est ce qu'a fait Albert Einstein entre autres, en montrant que la vitesse de la lumière appelée "c" est une constante absolue, parce que justement elle mesure le rapport entre l'espace et le temps en chaque point de l'Univers : 1 seconde vaut 300'000 km.

Autrement dit, le"dieu à 4 dimensions" verrait le cube de tout à l'heure immensément allongé dans la direction du temps. Pour qu'il lui apparaisse comme parfaitement hypercubique, il n'aurait du apparaitre que pendant 1/300'000'000 de seconde.

Mais ça ne suffit pas pour prouver que le temps soit une dimension "comme les autres". Les 2 dimensions d'une feuille de papier, tout comme les 3 dimensions de l'espace sont "euclidiennes" parce qu'on peut mesurer les distances entre des points par le théorème de Pythagore. Vous savez, celui qui dit que la carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés.

  • la diagonale de notre carré à 2 dimensions de côté 1 vaut racine de 12+12 = racine de 2
  • la diagonale de notre cube à 3 dimensions de côté 1 vaut racine de 12+12+12 = racine de 3
  • mais la diagonale de l'hypercube unité dans l'espace temps vaut-elle vraiment racine de 12+12+12+12, soit 2 ?

Cela revient à la question "comment mesurer la distance entre deux points distincts dans l'espace et le temps ?"

Pour y répondre, nous allons nous intéresser aux cercles et aux sphères plutôt qu'aux cubes, parce que tous les points sur un cercle ont la particularité d'être à la même distance du centre, comme d'ailleurs tous ceux à la surface d'une sphère. C'est même la définition mathématique de ces objets.

Commençons par remarquer que cette distance est toujours positive : le carré de l'hypoténuse ne peut jamais être un nombre négatif.

Maintenant, imaginons une ampoule située sur la Lune à une distance d=300'000 km d'ici et qui s'allume là bas exactement ... top ! maintenant. Elle nous paraîtra s'allumer exactement en même temps qu'une ampoule allumée ici t=1 seconde plus tard, autrement dit la "distance à 4 dimensions" d entre les 2 allumages d'ampoules et le "top" est la même.

Disons que le "top" est aux coodonnées (0,0,0,0), l'ampoule qui s'allume sur la Lune est aux coordonnées (x,y,z,0), et l'ampoule dans le labo aux coordonnées (0,0,0, c.t), c étant la vitesse de la lumière et t le temps après lequel on voit l'ampoule s'allumer, 1 seconde dans l'exemple.

On a donc: d= c.t =racine de ( x2+y2+z2) ,
soit: d2=c2.t2 = x2+y2+z2,
ce qui donne la relation : x2+y2+z2 - c2.t2 = 0

Plus généarlement, la distance d entre deux événements situés en (x,y,z,t) et en (x',y',z',t') dans l'espace-temps s'écrit

d=(x-x')2+(y-y')2+(z-z')2 - c2.(t-t')2

Ce n'est pas une distance euclidienne à cause du signe "moins", donc le temps n'est pas une dimension "comme les autres", même après l'avoir transformé en distance grâce à la vitesse de la lumière. L'espace-temps n'est donc pas un espace euclidien, mais un espace de Minkowski.

A moins que l'on puisse remplacer c par quelque chose qui deviendrait négatif en l'élevant au carré, mais le carré de tous les nombres réels est positif ... On ne peut faire intervenir que le nombre imaginaire i, tel que i2=-1 par convention.

Avec cette astuce, la distance devient "euclidienne" parce qu'on peut l'écrire : d=dx2+dy2+dz2 + c2(i.dt)2

Mais ceci montre que le temps est une dimension très spéciale car, tout en étant "perpendiculaire" à l'espace, on doit accepter qu'une distance mesurée entre deux événements dans le temps, au carré, correspond à une surface négative : le temps est donc une dimension "imaginaire" de l'espace-temps.

Références:

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  • Philip

    On en peut pas  »voir » la 4e dimension parce
    que nous avons perdu cette faculté…De
    même que la poule ne comprends pas la
    3e dimension et ne perçoit que le plan à 2
    dimensions et ne verrait que l’empreinte qu’
    une roue ferait sur le sol en y roulant et cela
    semblerait apparaitre comme par magie à
    sa perception bidimensionnelle…
    Bonne réflexion !

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  • foxmulder

    J’y avais déjà pensé, et trouve cela très « intéressant ».
    Mais il faut bien reconnaître que cela n’a pas beaucoup de sens, au delà du jeu de mot savoureux, ou plutôt que ça avance peu la question de la nature du temps…
    Encore plus intéressant, je trouve, est le fait qu’un espace-temps est implicitement statique, il ne peut évoluer dans le « temps »… Et qu’est ce qu’un espace-temps statique sinon une conception déterministe… Le succès du modèle d’espace-temps de minskovski est-il un argument philosophique en faveur du déterminisme ?

    • http://drgoulu.com Dr. Goulu

      Bienvenue, vous semblez mur pour attaquer ma série d’articles sur le temps et sa nature :-)

      En effet, la théorie de la relativité conduit assez naturellement à une vision « universaliste » du temps dans laquelle un « univers-bloc » à 4 dimensions contient le passé et le futur, figés, le temps étant une sorte de surface de coupe qui se propage dans le bloc, on ne sait pas trop comment. Définir la particularité du présent est la grande difficulté des universalistes. Dans cet univers, il n’y a pas de libre-arbitre et tout est effectivement prédéterminé.

      A l’inverse, la physique quantique défend plutôt la une vision « présentiste », dans laquelle seul le présent existe, le temps étant une illusion induite par les petites asymétries dans les probabilités de changement du « vecteur d’état », qui contient l’état de toutes les particules de l’Univers. C’est mathématiquement très beau, mais je n’ai pas encore compris comment le GPS peut fonctionner selon cette approche, ou autrement dit ce qui oblige les photons à se déplacer à une vitesse (illusoire) remarquablement constante dans un univers gouverné par les probabilités…

      Combiner ces deux visions solides mais incompatibles est un vrai gros défi, pour ne pas dire LE gros challenge de la physique moderne.

      Pour ma modeste part, en étudiant ce sujet je suis devenu « no futuriste » : la relativité n’a en fait pas besoin que le futur pré-existe, seul le passé doit être figé dans un bloc, dont la surface (à 3 dimensions dans un espace de Minkowski à 4) serait le présent. je vois assez bien ce présent comme une sorte de « transition de phase » de l’information, une surface où les probabilités quantiques, une sorte « d’information gazeuse » se « condense » en faits observables et déterminés. Mais je n’ai pas le niveau requis en maths pour pousser cette intuition plus loin…

      D’autre part, je me demande s’il ne serait pas temps (…) d’envisager une vérification expérimentale de la nature du temps, et par la même occasion de l’existence du libre-arbitre… A part la construction d’une machine à remonter le temps, on pourrait peut-être détecter des antiparticules cosmiques pour voir si elles sont émises par des évènements futurs (voir l’article sur la symétrie), ou d’autres expériences proposées dans certains articles du concours fq(x) auxquelles je n’ai rien compris…

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